平成28年度 理論科目 問1 電験3種過去問
問題
考え方
真空中における点電荷の電位$${V}$$は、点電荷を原点として、
$$
V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}\tag{1}
$$
$${\varepsilon_{0}}$$：真空の誘電率、$${r}$$：原点からの距離、
$${Q}$$：電荷量
で求まる。
電位が$${0\,{\rm{V}}}$$となる式を導いて、どのように$${xy}$$平面に描かれるかを見ていく。
解答例
電位が$${0\,{\rm{V}}}$$となるときの式は、式(1)を用いて、
$$
\begin{align}
V_{A} +V_{B} &= 0\notag\\
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{2Q}{r_{A}}+ \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{-Q}{r_{B}} &= 0\notag\\
\frac{2}{r_{A}}-\frac{1}{r_{B}}&= 0\notag\\
\frac{2}{r_{A}} &= \frac{1}{r_{B}}\notag\\
r_{A} &= 2r_{B}\tag{2}\\
\end{align}
$$
となる。ここで、各点電荷からの距離$${r_{A}, r_{B}}$$を求める。
電位が$${0\,{\rm{V}}}$$となる点の座標を$${P}$$とすると、各点電荷から、みた距離は、図1に示すように$${x,y}$$の三角形になる。
点電荷A
$${xy}$$平面の原点を点Aにずらした座標になるので、$${x}$$軸の座標は$${(x-2d)}$$となる。
$$
r_{A} = \sqrt{(x-2d)^{2}+y^{2}}\tag{3}
$$
点電荷B
$${xy}$$平面の原点を点Bにずらした座標になるので、$${x}$$軸の座標は$${(x+d)}$$となる。
$$
r_{B} = \sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}}\tag{4}
$$
したがって、式(2)は、
$$
\begin{align}
r_{A} &= 2r_{B}\notag\\
\sqrt{(x-2d)^{2}+y^{2}} &= 2\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}}\notag\\
(x-2d)^{2}+y^{2} &= 4(x+d)^{2}+4y^{2}\notag\\
x^{2}-4dx+4d^{2}+y^{2} &= 4x^{2}+8dx+4d^{2}+4y^{2}\notag\\
3x^{2}+12dx+3y^{2} &= 0\notag\\
x^{2}+4dx+y^{2} &= 0\notag\\
x^{2}+4dx +4d^{2}-4d^{2}+y^{2} &= 0\notag\\
(x+2d)^{2}+y^{2} &= (2d)^{2}\tag{5}
\end{align}
$$
となる。式(5)は、円の方程式を表す。
中心が(-2d, 0)、半径が2dである。
よって、答えは、(4)となる。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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