令和2年度 理論科目 問1 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、電磁気学に関する問題である。点$${a}$$から、点$${b}$$まで力$${\bm{F}}$$がする仕事$${W}$$は、
$$
W = \int_{a}^{b}\bm{F}\cdot {\rm{d}}\bm{r}\tag{1}
$$
で定義される。ここで、点電荷に働く力は$${\bm{F}=q\bm{E}}$$で求まる。ある電荷の集まりが電場を作っている場合は、この力に抗って動かす必要があるため、$${-\bm{F}=-q\bm{E}}$$の力を加える必要がある。よって、点電荷を動かす際の仕事は、
$$
\begin{align}
W &= \int_{a}^{b}\bm{F}\cdot {\rm{d}}\bm{r}\notag\\
&=-q \int_{a}^{b}\bm{E}\cdot {\rm{d}}\bm{r}\tag{2}\\
\end{align}
$$
と求まる。式(2)の$${- \int_{a}^{b}\bm{E}\cdot {\rm{d}}\bm{r}}$$は、電位の定義そのものであるから、式(2)は、
$$
W = q\left(V(b)-V(a)\right)\tag{3}
$$
とも書ける。
これらを用いて解いていく。ベクトルや内積が分からない場合は、$${\bm{E}\cdot {\rm{d}}\bm{r}}$$を$${Er\cos(\theta)}$$と考えて良い。
解答例
式(3)から、点Aを基準とした時の点Cの電位$${V_{ca}}$$は、
$$
\begin{align}
14 &= 2V_{ca}\notag\\
V_{ca} &= 7 \,{\rm{V}}\tag{4}
\end{align}
$$
と求まる。仕事は、経路によらないので、図1のように移動した場合も仕事は同じである。
よって、式(2)から
$$
\begin{align}
W &=-q \int_{{\rm{A}}}^{{\rm{C}}}\bm{E}\cdot {\rm{d}}\bm{r}\notag\\
&=-q Er\cos(\theta)\tag{5}
\end{align}
$$
となる。マイナスは、外力がする仕事であることを示している。
$${r\cos(\theta)}$$は、図1の緑色で示した部分になるので、$${r\cos(\theta)=0.7}$$である。外力がする仕事は、$${14 \,{\rm{J}}}$$であるので、$${-W=14}$$となる。電荷は$${2\,{\rm{C}}}$$であるから、
$$
\begin{align}
W &=-q Er\cos(\theta)\notag\\
14 &= 2E\times 0.7 \notag\\
E &= 10 \,{\rm{V/m}} \tag{6}
\end{align}
$$
となる。よって、点Aから点Bまでの電位$${V_{{\rm{BA}}}}$$は、電位の定義から、
$$
\begin{align}
V_{{\rm{BA}}} &= - \int_{A}^{B}\bm{E}\cdot {\rm{d}}\bm{r}\notag\\
&= Er\notag\\
&= 10\times 1 = 10 \,{\rm{V}}\tag{7}
\end{align}
$$
と求まる。よって、答えは、(3)となる。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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