フレイ曲線がフェルマーの方程式に対応しているのはなぜ？

背景

これまでフェルマーの方程式を考えてきた。

下記のフレイ曲線がフェルマーの方程式に対応しているのはなぜ？

$$
y^2 = x ( x-a^l)(x+b^l)
$$

分かったこと

フレイ曲線の判別式を計算します。二次方程式の判別式は

$$
ax^2+bx+c=0 \\
の判別式は \\
D=b^2 - 4ac
$$

フレイ曲線の判別式は、

$$
y^2 = x ( x-a^l)(x+b^l) \\
の右側の二次方程式の判別式は \\
D = (a^l-b^l)^2-4 a^l b^l =(a^l+b^l)^2=(c^l)^2
$$

判別式が0かマイナスですと、cとlが自然数ですから、

$$
c^l
$$

を満たすCとlが存在しないことになります。
この辺を証明に利用するのでしょうね？
楕円曲線 (E) が特定のガロア表現とは、この3次方程式でしょうか？

所感

フレイさんが偶然気づいたのでしょうか？