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sery1
フレイ曲線がフェルマーの方程式に対応しているのはなぜ?
背景
これまでフェルマーの方程式を考えてきた。
下記のフレイ曲線がフェルマーの方程式に対応しているのはなぜ?
$$
y^2 = x ( x-a^l)(x+b^l)
$$
分かったこと
フレイ曲線の判別式を計算します。二次方程式の判別式は
$$
ax^2+bx+c=0 \\
の判別式は \\
D=b^2 - 4ac
$$
フレイ曲線の判別式は、
$$
y^2 = x ( x-a^l)(x+b^l) \\
の右側の二次方程式の判別式は \\
D = (a^l-b^l)^2-4 a^l b^l =(a^l+b^l)^2=(c^l)^2
$$
判別式が0かマイナスですと、cとlが自然数ですから、
$$
c^l
$$
を満たすCとlが存在しないことになります。
この辺を証明に利用するのでしょうね?
楕円曲線 (E) が特定のガロア表現とは、この3次方程式でしょうか?
所感
フレイさんが偶然気づいたのでしょうか?
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