アセットマネージャーのためのファイナンス機械学習：ポートフォリオ構築　ポートフォリの凸最適化

アセットマネージャーのためのファイナンス機械学習

リスクフリーレイトに対する超過リターンが期待ベクトル$${{\bf \mu}}$$、期待共分散行列$${{\bf V}}$$を持つN資産ポートフィリオを考える。
　マコーウィッツ法では、ポートフォリオ中の資産アロケーションを以下のように解く。
$${\displaystyle{\min_{{\bf \omega}} \frac{1}{2}{\bf \omega}^T {\bf V \omega}}}$$
$${s.t. \ {\bf \omega}^T{\bf a}=1}$$
　ここで、$${{\bf a}}$$はポートフィリオの制約条件ベクトルと呼ばれる。
　
　上記をラグランジュ形式に書き直せば、
$${\displaystyle{L[{\bf \omega},\lambda]= \frac{1}{2}{\bf \omega}^T {\bf V \omega}-\lambda( {\bf \omega}^T{\bf a}-1) }}$$
より、必要条件は以下の２式が共に0と与えられる。
$${\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial {\bf \omega}} = {\bf V \omega}-\lambda{\bf a}}}$$,

$${\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial \lambda}= {\bf \omega}^T{\bf a}-1} }$$

$${\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial {\bf \omega}} =0 }}$$から、$${{\bf \omega}=\lambda {\bf V}^{-1}{\bf a}}$$、また、$${\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0}}$$から、$${{\bf a}^T{\bf \omega}=1}$$が得られる。
よって、
$${\displaystyle{\lambda=\frac{1}{{\bf a}^T{\bf V}^{-1} {\bf a}} }}$$、$${\displaystyle{{\bf \omega}^{\ast}=\frac{{\bf V}^{-1}{\bf a}}{{\bf a}^T{\bf V}^{-1} {\bf a}}}}$$となる。

$${{\bf 1}_N}$$を全要素Nが$${1}$$のベクトル、$${{\bf I}_N}$$を$${N\times N}$$の単位行列と表現する。

一般に、$${{\bf a}={\bf 1}_N}$$の時、解は最小分散ポートフォリオである。
$${{\bf a}={\bf 1}_N, {\bf V}=\sigma{\bf I}_N}$$である時、$${{\bf w}^{\ast}=\frac{1}{N}{\bf 1}_N}$$となり、最適解は全ての証券の重みが同じポートフォリオとなる。
$${{\bf a}={\bf 1}_N, {\bf V}:V_{i,j}=0(i \neq j), V_{ii}\neq V_{jj}}$$である時、$${\displaystyle{{\bf w}^{\ast}=\frac{1}{\sum^{N}_{n=1}V_{nn}}\begin{pmatrix}1/V_{11} & 0& \dots & 0 \\ 0 & 1/V_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \dots & 1/V_{NN} \\ \end{pmatrix}}}$$の、逆分散ポートフォリオとなる。

$${{\bf a}={\bf \mu}}$$である時、解はシャープレシオ$${\displaystyle{\frac{\mu_P}{\sigma_P}}}$$を最大にする。またこのポートフォリオのリターンの期待値は$${\mu_P = {\bf \omega}^T{\bf \mu}}$$、分散は$${\sigma_P^2={\bf \omega^T V \omega}}$$で与えられるから、$${SR=\displaystyle{\frac{\mu_P}{\sigma_P}=\frac{{\bf \omega^T\mu}}{\sqrt{{\bf \omega^T V \omega}}}}}$$が最大になる。
この時、接点ポートフォリオ（市場ポートフォリオ）は、$${\displaystyle{{\bf \omega}=\frac{{\bf V^{-1} \mu}}{{\bf \mu^{T}V^{-1}\mu}} }}$$、$${|{\bf \omega^{\ast}}|=1}$$より、$${\displaystyle{{\bf \omega^{\ast}}=\frac{{\bf V^{-1}\mu}}{{\bf 1_NV^{-1}\mu}}}}$$と与えられる。