河の最大枚数・打牌の最大回数

豆知識的に「何枚だよ」と語られることはあるが、たまに間違っていることもあるし、きちんとした証明を見たことがない気がするので書いておく。

1. 最大枚数どうしで比べれば明らかに 東≥南≥西≥北 なので、東家と仮定してよい

2. 誰もポンチーカンしないで流局まで摸打すると18枚である

3. 東家打牌間のツモ山消費に着目する

   • 河が19枚になるには、ツモ山消費が 3 少なくなればよい

   • 河が19枚を超えて1枚ずつ増えるには、ツモ山消費が 4 ずつ少なくなればよい

4. その変化を考察する

   • 上家、対面、下家からのポンチーによって、ツモ山消費が 1, 2, 3 少なくなる

   • 加槓・暗槓はツモ山消費が1多くなる

   • 上家、対面、下家からの大明槓によって、0, 1, 2 少なくなるが、ポンに劣る

   • 東家を飛ばす鳴きはツモ山消費を多くする

5. 制約を考える

   • 東家の打牌を鳴くと (東家の打牌数は増えうるが) 河に並ぶ牌の枚数は減ってしまう

以上より

河に並ぶ牌の枚数を最大化するには

1. 東家は南家から (-3)×4

2. 南家はなにもしない

3. 西家は南家から (-1)×4

4. 北家は南家から (-2)×4

ツモ山消費は 24 減るので、最大枚数は 18+6 = 24

なお、このとき南家の打牌回数は起こる鳴きに対して不足しない。

打牌の回数を最大化するには

1. 東家は南家から (-3)×4

2. 南家は東家から (-1)×4

3. 西家は東家から (-2)×4

4. 北家は東家から (-3)×4

ツモ山消費は 36 減るので、最大回数は 18+9 = 27

こちらも東家・南家の打牌回数は不足しない。

読者への演習問題

誰かが 南家・西家・北家 それぞれについての最大や最小の枚数を考えておいてくれたら表にしておこうと思う。

枚数/回数を一定化するには

「そんなことが可能なの?」
「そう、カンターン麻雀 ならね。」