代数学で、５次方程式が、解の公式を持たないこと

ChatGPT4oに、高校時代からの問いを訊いてみました。数式がきれいに出てきますが、コピーでは、記号になるので、省いています。これを理解するのに、長年苦労しています。拡大体の組み合わせが、根号と＋－、虚数の組み合わせでは、解けないことを言っているのだと思います。

質問：代数学で、５次方程式が、解の公式を持たないことが証明されていますが、どうゆうことか教えてください。

回答：
代数学において、5次方程式（およびそれ以上の高次方程式）が一般的に解の公式を持たないという事実は、ガロア理論と呼ばれる分野に関連しています。以下に、この問題の背景と主要なポイントについて説明します。

### 5次方程式の解の公式の背景
- **2次方程式の解の公式**:
2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 は、解の公式
で解けることが知られています。
- **3次方程式と4次方程式の解の公式**:
3次方程式や4次方程式も、複雑ではありますが、それぞれ解の公式が存在します。

### 5次方程式の一般的な解の公式が存在しないことの証明
**エヴァリスト・ガロア（Évariste Galois）の業績**:
- ガロアは、方程式の根の性質と対称性を調べることで、代数方程式の解に関する深い洞察を得ました。彼の研究は「ガロア理論」として知られるようになりました。
**ルフィニの理論**:
- ルフィニ（Paolo Ruffini）は、5次以上の代数方程式の一般的な解の公式が存在しないことを初めて示唆しましたが、その証明は完全なものではありませんでした。

**ガロア理論による証明**:
- ガロアは、代数方程式の根の対称性（ガロア群）を利用して、特定の方程式が解の公式（加減乗除とべき根を使ったもの）を持つかどうかを調べる方法を確立しました。
- 具体的には、5次以上の一般的な代数方程式に対応するガロア群が、解の公式によって解ける群（可解群）でないことを示しました。

### ガロア理論の概要
1. **ガロア群**:
- 方程式の根の集合に対する対称性を調べる。根を互いに入れ替える変換（置換）で、方程式を満たすものをガロア群と呼びます。
2. **体の拡大**:
- 方程式の根を含む最小の体（数の集合）を考える。この体を元の体（通常は有理数体）に対して「拡大体」と呼びます。
3. **可解性**:
- ガロア群が可解群である場合、その方程式は解の公式を持つ。逆に、ガロア群が可解群でない場合、その方程式は解の公式を持ちません。

### 結論
5次方程式およびそれ以上の方程式について、一般的な解の公式が存在しない理由は、その方程式のガロア群が可解群ではないからです。ガロア理論によって、これが数学的に証明されています。具体的な5次方程式が解の公式を持つかどうかを判断するには、その方程式のガロア群を調べる必要があります。

この結果は、19世紀初頭の代数学における重要な進展であり、現代数学の多くの分野に影響を与えています。

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