三平方の定理を考察してみた

突然ですが「三平方の定理」というものをご存知でしょうか？

直角三角形において、「斜辺以外の2辺の長さをそれぞれ2乗して足すと、斜辺の長さの2乗に等しくなる」というものです。

（引用：https://www.studyplus.jp/194）

今回はその「三平方の定理」を証明しよう、というのではなく、筆者が三平方の定理を少し発展させて、発見したことを皆様に共有できれば、と思います！

ちなみに三平方の定理の証明、についてはGoogleで検索するとわかりやすいものがたくさん出てきます。

では早速本題に入りましょう。

筆者が発見したこととは...

「直角三角形において、斜辺ではない辺をaとする。a≥3の自然数のとき、3辺すべてが自然数となる直角三角形が少なくとも1つは存在する」

というものです。詳しく解説していきます。

考え方：まず、斜辺でもaでもない辺をbとおきます。

次にaが奇数の場合と偶数の場合をそれぞれ考えていきます。

aが奇数の場合...

斜辺をb+1とおきます。

このとき、三平方の定理により

上図のようになります。

これを整理すると、

上図のようになります。

ここで、aが3以上の奇数であるとき、bは必ず自然数になります...①

ここの証明は割愛しますが、考えてみてください。

a=3とすると...

b=4となりますよね。

ということは斜辺はb+1=4+1=5。

あの有名な3:4:5の直角三角形が出来上がりました！

他には、a=5とすると...

b=12となりますよね。

ということは斜辺はb+1=12+1=13。

3:4:5の次に有名（？）な5:12:13の直角三角形の出来上がり。

つまり、aが3以上の奇数であれば、その数を2乗して1を引けば必ず2で割り切れるのです。

次にaが偶数の場合を考えてみましょう。

aが偶数の場合...

斜辺をb+2とおきます。

このとき三平方の定理により

上図のようになります。

これを整理すると、

上図のようになります。

ここで、aが4以上の偶数のとき、bは必ず自然数になります...②

ここの証明も割愛しますが、考えてみてください。

a=4とすると...

b=3となりますよね。

ということは斜辺はb+2=3+2=5。

おや？またもや3:4:5の直角三角形が出来ましたね？

a=6とすると...

b=8となりますよね。

ということは斜辺はb+2=10。

今度は6:8:10 (=3:4:5)の直角三角形が出来ました！

つまり、aが4以上の偶数であれば、その数を2乗すれば、必ず4で割り切れるのです。

①②より、a≥3の自然数のとき、3辺すべてが自然数となる直角三角形が少なくとも1つは存在する。

どうだったでしょうか？

筆者が中学生ということもあり、初めてブログを書いたこともあり、とてもわかりにくかったかもしれません。

コメントでアドバイス等、大歓迎です！

あ、あと「すでに君が考えていること〇〇の定理って言うんだよ〜」など教えていただければ幸いです！

次回...もし時間があったら「等差数列」について考察してみようかなと思います。

最後にこれを思いついたキッカケを軽く紹介していこうと思います。

偶然こんな問題に出会いました：

「三平方の定理で計算するだけの簡単な問題じゃん」

ということで？=14と求まりました。

「ん？待てよ？ということは7:24:25の直角三角形が存在する、ってことか。

3:4:5、5:12:13（これはもともと知っていました）、7:24:25...何か法則がありそうだな...

あ、一番大きい数と真ん中の数の差が1か！...ってことは真ん中をxとおくと、3:4:5の直角三角形を考えたときに、

3^2+x^2=(x+1)^2

x=4。

ほんとだ！ちゃんと3:4:5になってる！...ってことは一番小さい数字を2乗して引く1して2で割れば真ん中の数がわかるのか！じゃあ偶数の場合はどうだろう...?」などなど想像を膨らませていたらこれにたどり着きました。

#三平方の定理 #数学