ジェイラボワークショップ第47回『因数分解採点基準問題』【数学部】［20230123-0205］ #JLWS
この記事は、私が所属している「ジェイラボ」というコミュニティ内で行われたワークショップのログです。
以下、★マークを辿ればストーリーとして今回のワークショップを追体験することができるようになっています。今回はほぼほぼ本筋から逸れなかったため、ほぼ全てが★マークですが。
１日目
★Hiroto
こんにちは。今日から二週間数学部がWSを担当いたします。よろしくどーぞ。
○テーマ
「この因数分解、○？×？」
○概要
中高における多項式の因数分解の採点基準を、真剣に考えたことがあるだろうか。教員は、必要とあらば採点基準について明確な説明ができることが望ましい。感覚で×をつけるなんて行為がまかり通るはずがないからである。
このWSでは、いくつかのややこしい問題を通じて、少なくとも数学的に整合性のある採点基準を明文化する。この基準が絶対的に正しいであるとか、そういったことを主張しているわけではないことに留意せよ。
○スケジュール
１日目：因数分解の採点問題
２・３日目：素因数分解の完全理解
４日目：複素係数多項式環での因数分解
５日目：実係数多項式環での因数分解
６日目：有理係数多項式環での因数分解
７日目：休み
８〜１２日目：整数係数多項式環での因数分解
１３日目：まとめ・私の最終結論
○形式
例によって部長がだらだらと、文章や資料を投下します。部員の皆さんは何もしていないのかというとそんなことはなく、私があらかじめ課した問題に取り組んでいただいています。この形式には賛否両論あるでしょうが、スケジュール管理もできなければガイドラインもまともに読めない、計画性皆無の部長が少しでもクオリティの高いものを作り出そうとして頑張っておりますので、大目に見てやってください。少し言い訳をさせていただくと、今回のテーマはもともと私個人の問題意識が核となって始まっております。何かしらの本の内容をまとめる類のものではなく私独自の構成に基づいているため、「この内容をまとめておいて〜」と丸投げすることすら難しいのです。したがって、もっと初等的に取り組める具体的な問題を私が偉そうに指定して、それを解いていただくという形に落ち着きました。数学部で「発表者としての練習」を部員全員が積むには、もっとテーマを初等的にするか、皆が取り組んでいる輪読の内容などでWSを行なうかの二択になるかと思います。
改善の余地があることは重々承知しておりますが、今回は（も）このような形でWSを行なう旨、どうかご理解ください。
○数学が苦手だ！という人へ
投稿する文章は日本語ですが、手書きに資料の方は人によってはアレルギーが出てしまうような数式がうじゃうじゃ出てきます。
まずは日本語の方の文章を雰囲気で読んでいただいて、あとは本当にできる範囲で読んでやってください。今回のテーマで数学でない角度から攻めるとすると、
・採点に関わる教育上の観点
・「基準」を定めること、それに基づいて人を○×で評価することに関わる、倫理上の観点
などが挙げられるでしょうか。ふわっとしていて難しいですが、どうかよろしくお願いいたします。
★Hiroto
１日目：因数分解の採点問題
資料にあるような＜因数分解＞、皆さんも中高などで経験したことがあろうかと思います（経験していなくても全く問題はないのですが）。xを含む形式的な＜多項式＞と呼ばれる対象を、積の形に分けること。それが因数分解の簡単な定義でしょう。因数分解の採点問題と言われて、「分けられるだけ分けりゃあええんじゃ！」と言って仕舞えば簡単ですが、判断に困るいくつかの例を挙げます。それが以下の資料です。
どこまでが分け切っていなくて、どこからが分け切っているのか。ちょっと考えてみてください。よくわからない人は直感でGO！
この問題についての暫定的な回答は１３日目に出します。ご期待ください。
Q1.2について、A1.2.1、A1.2.2、A1.2.3順番に、、、
:1: ○○○ 1
@コバ
:2: ○○×
:3: ○×○ 2
@Takuma Kogawa, @YY 12
:4: ○×× 3
@Yujin, @Naokimen, @けろたん
:5: ×○○
:6: ×○×
:7: ××○
:8: ×××
Created automatically by @Hiroto with /pollQ1.1について、A1.1.1、A1.1.2順番に、、、
:1: ○○ 3
@Takuma Kogawa, @YY 12, @コバ
:2: ○× 3
@Yujin, @Naokimen, @けろたん
:3: ×○
:4: ××
Created automatically by @Hiroto with /poll★Hiroto
アンケートのクエスチョンがQ1.2、Q1.1の順番になっているので、気をつけてください。
■Takuma Kogawa
定数倍を除いて一意に因数分解できることを考えると、すべて因数分解の操作はできていると思われます。しかし、単に因数分解と言ったときに素因数分解もしなさいという前提に立つ人はまずいないのではないかと思います。ですので6=2・3は正しいですが解答として望ましいとは思いません。同類項をまとめるときも因数分解と操作は同じであり、3x+3x = (3+3)x = 6x =2・3xという解答は通常は認めないと思います。文字ではない数については計算しておくのが暗黙の了解と考えていました。
■けろたん
1.1.1, 1.2.1だけ○にしました。
数学的な視点を無視すると、○の基準がシブい方が採点が楽で成績をつけやすい気がします。
２日目
★Hiroto
２日目：素因数分解の完全理解
多項式の因数分解について考える前に、我々がもっとよく知っている分解について考えます。それが＜素因数分解＞です。素因数分解とは、よくある形では「２以上の整数を素数の有限個の積の形で書くこと」であり、これは積の順序をのぞいて一意です。
数学的には、「２以上の（正整数から１を除いた）整数」という縛りは少し不都合です。正の整数だけで演算を考えたとき、引き算について閉じていないからです（1-2=-1）。このことをふまえ、素因数分解を整数の範囲に広げて考えましょう。
このとき問題になるのは、「マイナスの処理」と「素数の定義の拡張」です。この問題について、部内で出た二人の意見をご紹介します。
意見１：ゆーろっぷ氏の意見
素因数分解の整数への拡張について、
・素数の定義を変える必要はない（負の数を含めてしまうと一意性の自然な定義ができない？）
・正負については1,-1のどちらかをとる因子を導入して調整する
・一意性も「積の順序を除いて一意」と設定する
以上のように考えればいいのではないかなと思いました。
意見２：イヤープラグさざなみ氏の意見
①素数をどう定義すればいいのか
考えるポイント
・(-1)は素数に入れるべきか→入れるべきでない
→なぜか？→素数に入れると、自然数の素因数分解で1を素数に入れた場合と同様に表示の一意性が損なわれるから。
例)-6=(-1)23=(-1)(-1)(-1)23
→では(-1)はどう扱うべきか？→特別扱いして、1回だけ使用可能にする(負の数の「素因数分解」の際、最初に(-1)を1回だけ括り出して、そのあとに自然数の素因数分解を適用する)。この場合、素数の定義は「1とその数自身のみで割り切れる2以上の整数」。
OR
(−2)とかも素数と呼ぶ。この場合(−1)は1と同じ扱いになる。すなわち、(−1)は「素因数分解」に登場しない。 ②(−2)とかも素数に入れた場合、例えば(ー6)の「素因数分解」を考えると、
−6=(−2)3=3(ー2)
と二通り(積の順番も考えれば四通り)の表示が考えられる。積の順序は自然数の素因数分解と同様に無視するとして、負号がどの数に付いているかも無視すれば、上の二通りの表示は問題にならない(一意に分解できていることになる)。
(ー1)23とかは、(−1)×2×3という意図で書いています。
いかがでしょうか。イヤープラグさざなみさんの①の最初の方の意見はゆーろっぷさんとほぼ同じ趣旨なので、ここでは、ゆーろっぷ案とイヤープラグさざなみ（のOR以降の）案の二つが挙げられたことになります。この二つについて資料の下の方にまとめてあります。二人の素晴らしい意見を紹介したところで、明日に続きます。
３日目
★Hiroto
３日目：素因数分解の完全理解
上の二つの案で、「符号（マイナス）」の情報というのはやはり重要な情報であるように思われます。今後のため、この「符号（±1）」という概念を、「1の約数」という見方で捉えてみます。1や−1は、分解の一意性を考える際にいくらでも分裂させられるので、厄介である（素数から1を除く理由の一つ）。この特性は「1の約数」というところから出てくるものなので、「1の約数」であることに名前をつけようと思います。
・以下、「1の約数」を＜単数＞（数と限らないときは、＜単元＞）と呼ぶことにする。
話は変わりますが、素数と呼ばれる整数（以下、負のものも含める）は、資料にあるような二つの性質を満たします。この②の証明をchiffon cakeさんにやっていただいたため、そちらもご参照ください。
４日目
★Hiroto
４日目：複素係数多項式環での因数分解
複素数が係数の多項式全てを考えます。ここでは和と差と積が定義されます。こういった演算がいい感じに定まっているとき、その集合を＜環＞といいます。
この複素係数多項式環においても、＜単元＞は「1の約数」として定義されます。具体的な決定は後ほど。
ここで、昨日資料に載せた、素数pが満たす二つの性質を思い出します。昨日の話はあくまでも整数の中での話ですが、逆転の発想で、昨日の性質①や②を満たすものを整数以外の環でも考えてやろう！と思うわけです。
・性質①を満たすものを＜素元＞
・性質②を満たすものを＜既約元＞
と定めることにします。整数環では素元と既約元は一致します。さあ複素係数多項式環でも一致するでしょうか？資料へGO！代数学の基本定理が火を吹きます。
５日目
★Hiroto
５日目：実係数多項式環での因数分解
昨日は複素係数多項式環について、単元、素元、既約元を決定し、素元分解（整数環でいうところの素因数分解に相当する）ができることを示した。しばらく、素元分解ができるならその方法は積の順序と単元倍を除いて一意であることは認めることにします。余裕があったら証明します。
さあ、同じことを実係数多項式環でもやってみましょう。複素のときとは違い、代数学の基本定理がそのまま使えるわけではないので注意が必要です。ただやはり代数学の基本定理が効いて、完全に素元や既約元が決定されます。資料へGO！
★Hiroto
昨日、複素係数多項式環であれこれ遊びましたが、あんまんさんに既約元の特定をしてもらいました。
明示的に記述されているわけではないですが、やはり代数学の基本定理が中心的な役割を果たしていることがわかると思います。
６日目
★Hiroto
６日目：有理係数多項式環での因数分解
昨日の実係数多項式環までは、完璧に素元と既約元を決定することができました。しかし、有理係数では単元の決定はできるものの、素元と既約元を特定することはかなり困難です。したがって、諦めます。
特定はできませんが、重要な結果として、素元分解ができることを示そうと思います。ここから若干抽象的な議論が多くなりますが、頑張って資料へGO！
★Hiroto
補足です。有理係数多項式環での素元の決定は難しいと言っていますが、素元の例を挙げることはできます。
実係数多項式環での素元（一次式と判別式が負の二次式）で係数が全て有理数のものなんかは、有理係数でも素元です。定義を確認してすぐわかります。
７日目
★Hiroto
７日目：休み
今日は新規の内容はございませんが、部員の方々に取り組んでいただいた課題をご紹介したいと思います。
・隕石さんのもの
「整数でのあまりの出る割り算についての、商とあまりの一意性」について証明してもらいました。一見今回のテーマと関係なさそうですが、実は整数の範囲で素因数分解ができる（上では証明なしで既知とした）のは、この「あまりの出る割り算」ができることが本質的な根拠となっています。というわけで、証明していただきました。
★Hiroto
・イスツクエさんのもの
「有理係数多項式環の単元、複素係数多項式環の単元」を決定してもらいました。
書いていただいた議論自体は誤りなのですが、非常に教育的な誤りなので、それも含めて紹介いたします。
・まず、＜単元＞と＜単位元＞の意味は違います。これは単なる用語の問題ですね。新しい用語を用いるときには注意が必要です。
・1/(多項式) の形の元は、多項式環の元ではありません。確かにそういった「分母が多項式」のものも含めた概念はあるのですが、単に多項式環と言ったときには、そういったものは含みません。複素係数多項式の方の回答は、その認識のずれからくる誤りだと思います。
・有理係数多項式の方の誤りは、私もその背景を汲み取れなかったため、どの記述が誤りなのかを添削しました。添削済み書類も合わせてご確認ください。
＠イスツクエ
私も汲み取れなかった誤りがあったため、もしよろしければ、添削書類をご確認の上、どういった思考で考えたのかを返信してくださると、皆さんの勉強の助けになるかもしれません。この返答は別に課題として課していたことではないので、答えていただかなくても構いません。
↪︎イスツクエ
↪︎Hiroto
ありがとうございます。
「有理数の逆数は有理数」なので、③についての青字の解釈だと誤ってしまいますね。
最後に書かれていたことについては、完全にどちらも誤りです。僕が約数という言葉をしっかり伝えていなかったかもしれません。
③（④）では、「かけて1になる有理係数多項式（複素係数多項式）が存在すること」が1の約元の定義です。
↪︎イスツクエ
改めて考えると確かにおかしいところだらけでした笑。ありがとうございました。
↪︎Hiroto
こちらこそいきなり頼んだのにありがとうございました！！！
８日目
★Hiroto
８日目：整数係数多項式環での因数分解
ここからが激ムズです。単元は決定できます。僕の資料とていりふびにさんの資料を合わせてご確認ください。ていりふびにさんの資料では、一次以上の整数係数多項式が単元になるのかどうかが未確定な状況ですが、これは起こり得ません。なぜなら、一次以上のものに0でない多項式をかけたら絶対に一次以上となり、1とはなり得ないからです。
さあここからなのですが、例によって素元と既約元の決定はもう無理です。どうにか「素元分解ができる」ことくらいは示したいので、有理係数のときの議論にうまく帰着できないか考えます。そこで、＜原始多項式＞という概念を導入します。
・原始多項式とは、0でない整数係数多項式で、係数の最大公約数が±1（互いに素）であることとする。
定義の後に、原始多項式に関する命題を一つ載せてあります。資料へGO！
９日目
★Hiroto
９日目：整数係数多項式環での因数分解
今日扱う命題はシンプルです。
「原始多項式と原始多項式をかけると、原始多項式になる」を示します。初等整数論で理解できるため、いつもより易しいと思います。資料へGO！
１０日目
★Hiroto
１０日目：整数係数多項式環での因数分解
当たり前ですが、「有理係数多項式環にて割り切る」ことと「整数係数多項式環にて割り切る」こととではまるで意味が違います。しかし、原始多項式の概念を加えることで、これらが等価となる場合があることがわかります。二つ命題がありますが、議論が似ているためそんなに負荷はキツくないと思います。資料へGO！
１１日目
★Hiroto
１１日目：整数係数多項式環での因数分解
今日と明日で「整数係数多項式環で素元分解できる」ことを示します。
今日は全体の概略と、STEP1を示します。
STEP1は「有理係数での素元を、単元倍した原始多項式は、整数係数で素元」です。証明は資料へGO！
※８〜１０日目で扱った命題４つを縦横無尽に使うため、主張だけでも頭に入れ直してから読むとスムーズかと思います。
１２日目
★Hiroto
１２日目：整数係数多項式環での因数分解
いよいよ大詰めです。STEP2は「整数での素数は、整数係数多項式環での素元」というものです。
そしてSTEP3でSTEP1,2を組み合わせてFINISHです。
その後に載せている例の方が今回のテーマとしては重要なので、そこだけでも見てやって下さい。資料へGO！
■コバ
私が今回のWSの内容に関連して思考したことを書いてみます。
今WS内で議論している「多項式の因数分解の採点基準」という論点からズレてしまうことを御容赦下さい。
皆さんは截拳道（ジークンドー）をご存じでしょうか。ブルースリーが詠春拳を基礎とし、創始した武道なのですが、その截拳道には試合がありません。
ボクシング、K-1、柔道、それらメジャーとされる格闘技には試合があるのに、なぜ截拳道には試合が無いのか。
1つの理由として、截拳道に「禁じ手」が無いからということが挙げられます。
確かに「金的」や「目潰し」を試合で許してしまっては、1回の試合でどちらかが再起不能になる可能性が極めて高く、現代人の価値観の「試合」は成立しないでしょう。
しかしそれだけではなく「試合の存在による弊害」も截拳道に試合が無い大きな理由であると私は考えています。
「試合が存在する」それは即ち、勝敗が存在することを意味します。
勝敗が存在するためには、勝敗を決するためのルールが必要です。
そしてルールがあるとそのルールに特化した戦術、技術が伸びやすく、それは試合で計れない技術をオミットしてしまうことを意味します。
それらの理由から截拳道は意図的に試合を廃していると私は考えます。
数学の話に戻ります。
数学を教育として学校で日本国民に授業で受けさせる。そしてその大きな施策の1つの出口として、今日の大学受験の「数学」は存在しています。
そしてその受験数学はそれが「試験」である限り「採点」という要素からは切り離せません。
学問としての数学、国民に教育として受けさせる施策としての数学、その教育の1つの出口となっている受験の1科目としての数学、それらが錯綜し合っているということが、数学テストの採点基準論争みたいな所に表出しているのではないかと思います。
↪︎Hiroto
ありがとうございます。
まさにその通りだと思います。色々な側面のものが全て「数学」と呼ばれているところに全ての問題があると思います。
ここら辺の話は次の教育研WSで深掘りするため、そのときにまたご意見をくださると嬉しいです。
１３日目
★Hiroto
１３日目：まとめ・私の最終結論
資料の最初に今までの話をまとめた表を作りました。復習にご活用ください。
我々が採点基準として採用する際には、「一意性が厳しいこと」がかなり重要となってくる。今の所係数が全て整数なら、「整数係数多項式環」で分解するのが一番良さそう（一意性は順序と±1倍のみを除く）だが、この世界では「6=2×3」までしないと許されない世界である。それはちょっと気持ち悪い、、、。
そこで！！！！！！２日目のゆーろっぷ案とイヤプラ案を思い出す！！
理論的にうまくスマートに記述できるのはイヤプラ案なので今まではこちらを使ってきましたが、実際の表示として一意性が厳しいのはゆーろっぷ案なので、採点基準としてはこの考え方を使ってやろうというわけです。
かくして、有理係数多項式環での素元分解（ゆーろっぷイズムver.）が明文化され、晴れて
・数学的に整合性がある
・一意性も厳しい（順序のみを除く）
といった条件を満たす因数分解の基準を見つけることができました！！！めでたしめでたし。
数学的内容は以上で終わりです。明日は改めて採点基準について私が思うことについて述べ、そこでWSを締めたいと思います。質問や感想などこの土日でどしどし待っております！！！！
１４日目
★Hiroto
１４日目：語り尽くして部長が思うこと
・数学的には、、、
一般論と具体的な話のちょうど良いラインを攻められたのではないかと思います。今ピンとこなくても、資料をダウンロードしておくと、後で役立つとは思います。そのくらい自信あります。
素因数分解と因数分解が"本質的に同じ"と思えるようになったなら、オールOKです。
・採点問題としては、、、
今回提示したものが唯一解とは思いません。というか、唯一解なんてないのです。"採点基準が明文化されていない"のですから。
そこが問題だということをここで改めて言わせていただきます。数学的にちんぷんかんぷんな基準があるなら真っ向から立ち向かえますが、それすらないからフワフワと現状維持できてしまっている、それが今の因数分解業界（？）の実情なのではないでしょうか。
私は数学を語ることしかできませんが、採点問題に関しては、教育研の方で膨らませることにいたしましょう、、。それでは！お付き合いくださりありがとうございました！！！また次回WSでよろしくお願いします〜〜
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