解析入門I - 連続性の公理3
この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。
今回も連続性の公理から導かれる種々の命題を見ていくことにする。
$${l \in L(B)}$$をとる。下界の定義より、任意の$${b \in B}$$に対し$${l \le b}$$だから、$${-l \ge -b \in -B}$$が成り立つ。したがって$${-l}$$は$${-B}$$の上界となり、$${-B}$$は上に有界であることがわかる。$${-B \neq \phi}$$も成立するので連続性の公理より$${s \equiv \sup(-B)}$$が存在する。
さて、次が成り立つ。
任意の$${b \in B}$$に対し、$${-b \le s}$$
任意の$${c \lt s}$$に対し、$${-b \gt c}$$なる$${b \in B}$$が存在
これは読み替えると次のようになる。
任意の$${b \in B}$$に対し、$${b \ge -s}$$
任意の$${d \gt -s}$$に対し、$${b \lt d}$$なる$${b \in B}$$が存在
これは$${-s = \inf B}$$であることの必要十分条件である。したがって$${\inf B}$$は存在して、$${\inf B = -\sup (-B)}$$であることが示された。
$${x}$$が$${B}$$の上界であるとき、$${x}$$は$${A}$$の上界でもあることは明らかである。つまり、$${A \sub B \Rightarrow U(B) \sub U(A)}$$が成立する。そして定義により$${s = \sup A = \min U(A)}$$であるから、$${U(A)}$$のいかなる元$${u}$$に対しても$${s \le u}$$が成り立つ。$${U(A)}$$は$${U(B)}$$を含むから、当然$${U(B)}$$のいかなる元$${u'}$$に対しても$${s \le u'}$$が成立する。つまり$${\sup A \le \sup B}$$である。
下界に対しても同様の議論ができる。つまり$${A \sub B \Rightarrow L(B) \sub L(A)}$$が成立するから$${\inf A = \max L(A) \ge \max L(B) = \inf B}$$である。
$${A, B}$$が共に上に有界であるとする。したがって$${\sup A, \sup B}$$が存在する。任意の$${a \in A, b \in B}$$に対し$${a \le \sup A, b \le \sup B}$$だから、$${a + b \le \sup A + \sup B}$$が成り立つ。したがって、$${A+B}$$は上に有界であり、少なくとも$${\sup A + \sup B}$$は$${U(A+B)}$$の元であることがわかる。
ここで任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、$${t \equiv \sup A - \varepsilon}$$と置くと、これはもはや$${A}$$の上界ではないから、ある$${a \in A}$$が存在し$${t \lt a}$$となる。同様に$${t' \equiv \sup B - \varepsilon}$$と置くと、ある$${b \in B}$$が存在し$${t' \lt b}$$となる。よって$${t + t' \lt a + b}$$だから、整理すると
$$
\sup A + \sup B < a + b + 2\varepsilon
$$
が成立する。$${\sup(A+B) \ge a + b}$$から$${-\sup(A+B) \le -a - b}$$がわかるので、上記の不等式と合わせると
$$
(\sup A + \sup B) - \sup(A+B) < 2\varepsilon
$$
となる。したがって$${(\sup A + \sup B) - \sup(A+B) = 0}$$から、求式を得る。下限や積についても同様の議論ができる。
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