量子計算学習ノート - 転置共役

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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例によって$${V}$$をヒルベルト空間とし、$${A}$$をその上の線形オペレータとする。任意のベクトル組$${|v\rangle , |w\rangle \in V}$$に対して

$$
(|v\rangle, A |w\rangle) = (B|v\rangle, |w\rangle)
$$

を満たす線形オペレータ$${B}$$がただ一つだけ存在することが証明できる。この$${B}$$を$${A}$$の転置共役や随伴といい、$${A^*}$$と表す。

実際、適当なCONS$${\{|e_i\rangle\}}$$をとったときに$${A=\sum_{ij}a_{ij}|e_i\rangle \langle e_j|}$$とかけたとする。このとき$${B = \sum_{ij}a^*_{ji}|e_i\rangle \langle e_j|}$$とおくと

$$
\begin{array}{lcr}
(|e_i \rangle, A |e_j \rangle) & = & a_{ij} \\
(B |e_i \rangle, |e_j \rangle) & = & a_{ij}
\end{array}
$$

となる。内積と$${A, B}$$の線型性から明らかに$${(|v\rangle, A |w\rangle) =(B|v\rangle, |w\rangle)}$$が成り立つことがわかる。また、このような$${B}$$が2つあったとして、もう1つを$${B'}$$とおき、それぞれが$${B=\sum_{ij}b_{ij}|e_i\rangle \langle e_j|, B'=\sum_{ij}b'_{ij}|e_i\rangle \langle e_j|}$$と表されるとすると

$$
b_{ij} = (B|e_i \rangle, |e_j\rangle) = (B'|e_i\rangle, |e_j\rangle) = b'_{ij}
$$

であるため、$${B, B'}$$のすべての行列要素が等しいことから$${B}$$の唯一性がわかる。

$${A^* = \sum_{ij}a^*_{ji}|e_i\rangle \langle e_j|}$$であることから、$${A}$$の転置共役はその表現行列を転置して、各要素を複素共役とったものに等しくなる。

転置共役 $${(\cdot)^*}$$は以下の性質を持つ

1. $${(AB)^* = B^*A^*}$$

2. $${(|v\rangle \langle w|)^* = |w\rangle \langle v|}$$

3. $${(\sum_i a_i A_i)^* = \sum_i a_i^* A_i^*}$$

4. $${A^{**} \equiv (A^*)^* = A}$$ 

5. $${\langle A |v\rangle | = \langle v| A^*}$$

最後の性質は議論の厳密性を保つために重要なので、証明しておこう。この性質は線形オペレータ$${A}$$を$${|v\rangle}$$に適用したベクトルに対する双対ベクトルが、実は$${\langle v | A^*}$$という線形オペレータに等しいことをいっている。

定義からこれは以下のように示すことができる。

$$
\begin{array}{l}
(\langle A |v\rangle |) |w\rangle = (A |v \rangle, |w\rangle) = (|w \rangle, A|v\rangle)^*\\
= (A^*|w\rangle, |v\rangle)^* = (|v\rangle, A^*|w\rangle) = (\langle v|)(A^*|w\rangle) \\
= (\langle v| A^*) |w\rangle
\end{array}
$$