量子計算学習ノート - 多様な基底による観測

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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重ね合わせ状態 $${\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle}$$ が与えられたとき、$${|\alpha|^2}$$で$${|0\rangle}$$が、$${|\beta|^2}$$で$${|1\rangle}$$が観測される。従来の計算においても同様にビットが0なのか1なのかを観測することができるが、量子計算においてはもう少し多様な観測を実施することができる。

例えば、次のような量子ビット状態の組を考える。これは $${\mathbb{C}^2}$$における正規直交基底となっている。

$$
|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, |-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}
$$

この$${|+\rangle, |-\rangle}$$を用いて、量子ビット状態が$${|+\rangle}$$なのか$${|-\rangle}$$なのかを観測することができる。その際の観測確率はその量子状態が$${|+\rangle, |-\rangle}$$を用いてどのように表現されるかを見ればわかる。例えば$${|0\rangle}$$の場合

$$
|0\rangle = \frac{|+\rangle + |-\rangle}{\sqrt{2}}
$$

であることは簡単に確かめられる。

一般的に2つの量子ビット状態$${|a\rangle, |b\rangle}$$が与えられて、それらが直交しているならば、任意の量子ビット状態が$${|a\rangle}$$なのか$${|b\rangle}$$なのかを観測することができる。同様に多量子ビット状態に関する観測においても、与えられた多量子ビット状態が正規直交基底になっているのであれば、任意の多量子ビット状態（量子ビット数は同じとする）が、正規直交基底を成す多量子ビット状態のいずれであるかを観測することができる。

ただし、この観測が物理的に容易に実行可能かどうかはまた別問題となる。