量子計算学習ノート - テンソル積2

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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前回の記事ではベクトルのテンソル積とヒルベルト空間のテンソル積について議論した。この記事では線形オペレータのテンソル積について説明する。

$${V, W}$$をヒルベルト空間とする。そのテンソル積$${V \otimes W}$$上の線形オペレータとはどのような形をしているだろうか。$${V, W}$$のCONSをそれぞれ$${\{|e_i\rang\}, \{|f_i\rang\}}$$としよう。$${V \otimes W}$$上の線形オペレータ$${C}$$を定義するには、そのCONS$${\{|e_i\rang \otimes |f_j\rang\}}$$に対する作用が定義できればよい。一般的に、以下のように定義できるだろう。

$$
C(|e_i\rang \otimes |f_j\rang) \equiv \sum_{kl} \lambda_{kl}^{ij} |e_k\rang \otimes |f_l\rang
$$

これとは別に$${V, W}$$上の線形オペレータをそれぞれ$${A, B}$$とおくと、$${A \otimes B: V \otimes W \to V \otimes W}$$なる線形オペレータを

$$
A \otimes B (|e_i \rang \otimes |f_j \rang) \equiv A|e_i\rang \otimes B|f_j\rang
$$

により定義する。これを線形オペレータのテンソル積という。$${A, B}$$それぞれが$${A|e_i\rang \equiv \sum_k a_k^i |e_k\rang, B|f_j\rang \equiv \sum_l b_l^j |f_l\rang}$$によって定義されていたとすると

$$
A \otimes B (|e_i \rang \otimes |f_j \rang) = \sum_{kl} a_k^i b_l^j |e_k\rang \otimes |f_l\rang
$$

とかけることから、任意の$${V \otimes W}$$上の線形オペレータ$${C}$$は、適当な$${V, W}$$上の線形オペレータ$${A, B}$$が存在して$${C=A \otimes B}$$とかける。もちろんこの表現は一意ではない。

ところで線形オペレータの集合にも、通常の関数の和、スカラー倍によって和とスカラー倍が定義できるため、線形空間になる。この線形空間を$${L(V)}$$と書くことにしよう。$${L(V)}$$上に内積を$${(A, B) \equiv {\rm tr} (A^*B)}$$ ($${\rm tr}$$は正方行列のトレース)と定義でき、これにより$${L(V)}$$はヒルベルト空間となる。先の議論は$${L(V) \otimes L(W)}$$と$${L(V \otimes W)}$$が実は同じ集合であることを確かめたのだ。

さて、線形オペレータのテンソル積の性質を見ていこう。まず以下の双線形性と結合法則が成立する。

1. $${\lambda (A \otimes B) = (\lambda A) \otimes B = A \otimes (\lambda B)}$$

2. $${(A+A') \otimes B = A\otimes B + A' \otimes B}$$

3. $${A \otimes (B +B') = A\otimes B + A \otimes B'}$$

4. $${(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)}$$

次に転置共役$${(\cdot)^*}$$との関係を見る。次が成り立つ。

• $${(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*}$$

実際、次のように証明できる。

$$
\begin{array}{l}
(|\varphi\rang, (A \otimes B)|\varphi'\rang) \\
= \sum_{ijkl}(\lambda_{ij} |e_i\rang\otimes |f_j\rang, \lambda'_{kl} A|e_k\rang \otimes B|f_l\rang) \\
= \sum_{ijkl} \lambda^*_{ij} \lambda'_{kl} \lang e_i |A|e_k\rang \lang f_j | B | f_l\rang \\
= \sum_{ijkl} \lambda^*_{ij} \lambda'_{kl} (A^*|e_i\rang, |e_k\rang) (B^*|f_j\rang, |f_l\rang) \\
= \sum_{ijkl} \lambda^*_{ij} \lambda'_{kl} (A^* \otimes B^* |e_i\rang \otimes |f_j\rang, |e_k\rang \otimes |f_l\rang) \\
= ((A^* \otimes B^*) |\varphi\rang, |\varphi'\rang )
\end{array}
$$

これ以外にも以下が成り立つ。

• $${A, B}$$が正規オペレータであるとき、$${A \otimes B}$$も正規オペレータ

• $${A, B}$$がエルミートオペレータであるとき、$${A \otimes B}$$もエルミートオペレータ

• $${A, B}$$が射影オペレータであるとき、$${A \otimes B}$$も射影オペレータ

• $${A, B}$$がユニタリオペレータであるとき、$${A \otimes B}$$もユニタリオペレータ

• $${A, B}$$が正のオペレータであるとき、$${A \otimes B}$$も正のオペレータ