量子計算学習ノート - エルミートオペレータ1

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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ヒルベルト空間$${V}$$上の線形オペレータ$${A}$$が

$$
A = A^*
$$

を満たすとき、$${A}$$をエルミートオペレータ、もしくは自己共役オペレータと呼ぶ。エルミートオペレータの中でも特に射影オペレータは観測を議論するうえで重要だ。これを定義するために射影定理について紹介しよう。

$${V}$$の部分空間$${W}$$を仮定する。$${W}$$に対し、以下のような集合$${W'}$$を定義する。

$$
W' \equiv \{ |x\rangle \in V : \forall y \in W, \langle x | y\rangle = 0\}
$$

これを$${W}$$の直交補空間といい、$${W^{\perp}}$$と表す。直交補空間はそれ自身が$${V}$$の部分空間となる。

これとは別にヒルベルト空間の直和について議論する。ヒルベルト空間$${W, W'}$$が与えられたとき、集合$${W \oplus W'}$$を以下のように定義する。

$$
W \oplus W' \equiv \{(|y\rangle, |z\rangle) : |y\rangle \in W, |z\rangle \in W'\}
$$

このとき、$${W \oplus W'}$$に以下のような和とスカラー倍、内積を定義すると、これはヒルベルト空間になる。

• 和: $${(|y\rangle, |z\rangle) + (|y'\rangle, |z'\rangle) = (|y\rangle+|y'\rangle, |z\rangle + |z'\rangle)}$$

• スカラー倍: $${\lambda(|y\rangle, |z\rangle) = (\lambda|y\rangle, \lambda|z\rangle)}$$

• 内積: $${((|y\rangle, |z\rangle), (|y'\rangle, |z'\rangle)) \equiv \langle y|y'\rangle + \langle z | z' \rangle}$$

このようなヒルベルト空間を$${W, W'}$$の直和ヒルベルト空間という。

$${V}$$の部分空間$${W}$$とその直交補空間$${W^\perp}$$の直和は、大元
のヒルベルト空間$${V}$$と同型、即ち一対一対応が存在する。これを示すのが射影定理である。

$${V}$$の任意のベクトル$${|v\rangle}$$に対し、$${|v \rangle = |w\rangle + |w^\perp\rangle}$$
となるような$${|w\rangle \in W, |w^\perp\rangle \in W^\perp}$$がそれぞれただ一つだけ存在する。

射影定理の証明の方針を述べよう。

$${V}$$からCONS$${\{|v_i\rangle\}}$$を$${W}$$のCONS$${\{|w_i\rangle\}}$$を含むようにとる。CONSなのだから$${|v\rangle}$$は $${|v\rangle = \sum_i a_i |v_i\rangle}$$と書かれなければならない。仮に$${k}$$番目までを$${W}$$のCONSの要素としても一般性を失わないから、$${|v\rangle = \sum_{i=1}^k a_i |v_i\rangle + \sum_{i=k+1}^{\dim V}a_i |v_i\rangle}$$と和を分割できる。この時$${|w\rangle \equiv \sum_{i=1}^k a_i |v_i\rangle, |w^\perp\rangle \equiv \sum_{i=k+1}^{\dim V}a_i |v_i\rangle}$$とすればよい。

一意性については、仮に$${|w\rangle + |w^\perp\rangle = |w'\rangle + |w'^\perp\rangle}$$としたとき、$${|w\rangle - |w'\rangle = |w'^\perp\rangle - |w^\perp\rangle}$$が成り立つ。この元は左辺が$${W}$$の元で、右辺が$${W^\perp}$$の元であるため$${W\cap W^{\perp} = \{\bold{0}\}}$$の元である必要がある。よって$${|w\rangle = |w'\rangle, |w^{\perp}\rangle = |w'^\perp\rangle}$$に帰着する。

射影定理によって得られる、部分空間$${W}$$の元を返すオペレータ$${P_W}$$を$${P_W|v\rangle \equiv |w\rangle}$$と定義できる。このオペレータを射影オペレータという。同様に$${P_{W^\perp} |v\rangle \equiv |w^\perp\rangle}$$も定義でき、これを射影オペレータ$${P_W}$$に対する正規直交相補オペレータといい、明らかに$${P_{W^\perp} = I-P_W}$$である。

射影オペレータは線形オペレータだろうか？ またエルミートオペレータだろうか？ これについては次回確かめよう。