量子計算学習ノート - 量子力学の公理8

---

この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

---

これまで量子測定の定義について述べてきたが、ここではその性質について述べることにする。

$${\{L_l\}, \{M_m\}}$$をそれぞれ測定オペレータの集合とする。これらの測定オペレータから新しい測定オペレータの集合$${\{N_{lm}(=M_mL_l)\}}$$を定義する。このとき、$${\{L_l\}}$$で測定を行った後、$${\{M_m\}}$$で測定を行うことと、$${\{N_{lm}\}}$$で測定を行うことは等価である

縦続測定と単一測定

$${\sum_m \sum_l M_m L_l = I\cdot I = I}$$より、$${\{N_{lm}\}}$$は確かに測定オペレータの集合になっている。今、$${\{L_l\}}$$で状態$${|\psi\rang}$$を測定し、結果として$${l}$$を得たとする。つまり、測定確率は$${p(l) = \lang \psi | L_l^* L_l | \psi\rang}$$であり、測定後の状態は

$$
|\psi'\rang \equiv \frac{L_l|\psi\rang}{\sqrt{\lang \psi | L_l^* L_l |\psi\rang}}
$$

となる。ここでさらに$${\{M_m\}}$$で状態$${|\psi'\rang}$$を測定し、結果として$${m}$$を得たとする。つまり測定確率は$${p(m|l) = \lang \psi'|M_m^* M_m |\psi'\rang}$$であり、測定後の状態は

$$
|\psi^{''}\rang \equiv \frac{M_m|\psi'\rang}{\sqrt{\lang \psi' | M_m^* M_m |\psi'\rang}}
$$

である。これより結合確率$${p(m,l)}$$は

$$
\begin{array}{l}
p(m,l)\\
= p(l)p(m|l) \\
= \lang \psi | L_l^* L_l | \psi\rang\lang \psi'|M_m^* M_m |\psi'\rang\\
= \lang \psi| L_l^*M_m^* M_m L_l |\psi\rang \\
= \lang \psi| N_{lm}^* N_{lm} |\psi\rang
\end{array}
$$

がわかる。また、$${|\psi^{''}\rang}$$を整理すると

$$
\begin{array}{l}
|\psi^{''}\rang \\
\equiv \frac{M_m|\psi'\rang}{\sqrt{\lang \psi' | M_m^* M_m |\psi'\rang}}\\
= \frac{M_m L_l |\psi\rang}{\sqrt{\lang\psi| L_l^* L_l|\psi\rang\lang \psi' | M_m^* M_m |\psi'\rang}}\\
= \frac{M_m L_l |\psi\rang}{\sqrt{\lang\psi|L_l^*M_m^*M_m L_l |\psi\rang}}\\
= \frac{N_{lm}|\psi\rang}{\sqrt{\lang\psi| N_{lm}^*N_{lm}|\psi\rang}}
\end{array}
$$

である。したがって、$${\{L_l\}}$$で測定を行った後、$${\{M_m\}}$$で測定を行った結果と、$${\{N_{lm}\}}$$で測定を行った結果は同じであることがわかる。

$${\{M_m\}}$$を測定オペレータの集合とする。この測定オペレータ集合に対するPOVMを$${\{E_m\}}$$と置くと、$${M_m = U_m \sqrt{E_m}}$$なるユニタリオペレータの族$${\{U_m\}}$$が存在する

一般の量子測定とPOVMとの関係

これは任意の線形オペレータが左極分解できることから明らかだ。

線形独立な状態$${|\psi_1\rang, \cdots, |\psi_m\rang}$$の中から選ばれた量子状態がBobに与えられるとする。測定結果$${i \ (1 \le i \le m)}$$が得られればBobに与えられた量子状態が$${|\psi_i\rang}$$であると確信をもってわかるようなPOVMが存在する。

任意数の非直交量子状態達を同定するPOVM

大本となるヒルベルト空間を$${V}$$とする。今$${S}$$を$${\{|\psi_j\rang \}}$$で張られた$${V}$$の部分空間とする。また、各$${i}$$に対して$${W_i}$$をベクトル$${\{|\psi_j\rang : j \neq i \}}$$で張られた部分空間とする。射影定理によって$${|\psi_i\rang}$$は次のように書き直せる。

$$
|\psi_i \rang = |\omega_i \rang + |p_i\rang \ (|\omega_i \rang \in W_i, |p_i \rang \in W_i^\perp \cap S)
$$

この分解を用いて$${E_i \equiv \frac{|p_i \rang \lang p_i |}{m}}$$と定義しよう。まず$${E_i \ge 0}$$は明らかである。また$${E_{m+1} = I - \sum_{i=1}^m E_i}$$と定義すると、

$$
\lang\psi | E_{m+1}|\psi\rang = 1 - \sum_{i=1}^m \lang\psi | E_{i}|\psi\rang \ge 1 - \sum_{i=1}^m \frac{1}{m} = 0
$$

となり、$${E_{m+1} \ge 0}$$である。したがって$${\{E_i\}_{i=1}^{m+1}}$$はPOVMとなる。

このPOVMによる量子測定を考えよう。$${|\psi_j\rang (j\neq i)}$$は$${W_i^\perp \cap S}$$の元である$${|p_i\rang}$$とは直交している。よって$${\lang \psi_j | E_i |\psi_j \rang = 0}$$となる。一方で$${|\psi_i\rang}$$は$${|p_i\rang}$$とは直交しておらず

$$
\lang \psi_i | E_i |\psi_i \rang = \frac{|\lang p_i | p_i \rang|^2}{m} = \frac{1}{m} \gt 0
$$

となる。したがってこの測定により、$${i \ (1 \le i \le m)}$$の測定結果が得られれば状態$${|\psi_i \rang}$$が与えられたことがBobにわかる。一方で$${\frac{m-1}{m}}$$の確率でBobは状態が何だったかはわからない、という帰結を下すことになる。