量子計算学習ノート - エルミートオペレータ2

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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前回の記事では射影オペレータの定義について述べた。この記事では射影オペレータが線形オペレータなのか、またエルミートオペレータなのか、そしてどんな性質があるのかを議論する。

いつもどおり$${V}$$をヒルベルト空間とし、$${W}$$をその部分空間とする。$${P_W}$$を部分空間$${W}$$への射影オペレータとすると、射影オペレータが線形オペレータであることが証明できる。実際に証明してみよう。

まず適当なベクトル$${|v\rangle, |v'\rangle \in V}$$をとってくる。また$${W}$$のCONSを$${\{|w_i\rangle\}}$$とし、$${V}$$のCONS $${\{|v_i\rangle\}}$$を$${i=1 ,\cdots , \dim W}$$において$${|v_i\rangle = |w_i\rangle}$$を満たすようにとる。このCONSを用いて$${|v\rangle, |v'\rangle}$$を次のように表す。

$$
|v\rangle = \sum_i \lambda_i |v_i\rangle, |v'\rangle = \sum_i \lambda'_i |v_i\rangle
$$

$${|v\rangle, |v'\rangle}$$と$${\alpha \in \mathbb{C}}$$において、

$$
\begin{array}{l}
P_W (|v\rangle + |v'\rangle) \\
= P_W \left(\sum_{i=1}^{\dim W}(\lambda_i + \lambda'_i)|v_i\rangle + \sum_{i=\dim W+1}^{\dim V}(\lambda_i + \lambda'_i)|v_i\rangle\right)\\
= \sum_{i=1}^{\dim W}(\lambda_i + \lambda'_i)|v_i\rangle \\
= \sum_{i=1}^{\dim W}\lambda_i|v_i\rangle + \sum_{i=1}^{\dim W}\lambda'_i|v_i\rangle\\
= P_W|v\rangle + P_W |v'\rangle
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{l}
P_W (\alpha |v\rangle) \\
= P_W \left(\sum_{i=1}^{\dim W}(\alpha \lambda_i)|v_i\rangle + \sum_{i=\dim W+1}^{\dim V}(\alpha \lambda_i)|v_i\rangle\right)\\
= \sum_{i=1}^{\dim W}(\alpha \lambda_i)|v_i\rangle \\
= \alpha \left( \sum_{i=1}^{\dim W}\lambda_i|v_i\rangle \right) \\
= \alpha P_W|v\rangle
\end{array}
$$

となることから、射影オペレータ$${P_W}$$は線形オペレータである。

射影オペレータは$${W}$$のCONS$${\{|w_i\rangle\}}$$を用いて次のようにかける。

$$
P_W = \sum_{i=1}^{\dim W} |w_i \rangle \langle w_i|
$$

実際次の計算からこれは明らかだ。

$$
\begin{array}{l}
\left(\sum_{i=1}^{\dim W} |w_i \rangle \langle w_i| \right) |v\rangle\\
= \sum_{i=1}^{\dim W} \sum_j \lambda_j |w_i \rangle \langle w_i | v_j\rangle \\
= \sum_{i=1}^{\dim W} \lambda_i |w_i \rangle\\
= P_W|v\rangle
\end{array}
$$

この表記は射影オペレータがエルミートオペレータであることを証明するのに役立つ。実際にそれを証明する前に共役転置$${(\cdot)^*}$$が共役線形性を持つことを示そう。つまり

$$
(A + B)^* = A^* + B^*, \quad (\alpha A)^* = \alpha^* A^*
$$

が成り立つ。これは以下から明らかだ。

$$
\begin{array}{l}
(|v\rangle, (A+B) |v'\rangle) \\
= (|v\rangle, A|v'\rangle) + (|v\rangle, B|v'\rangle) \\
= (A^*|v\rangle, |v'\rangle) + (B^*|v\rangle, |v'\rangle) \\
= ((A^* + B^*)|v\rangle, |v'\rangle)
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{l}
(|v\rangle, (\alpha A) |v'\rangle) \\
= \alpha (|v\rangle, A|v'\rangle) \\
= \alpha (A^*|v\rangle, |v'\rangle) \\
= (\alpha^* A^*|v\rangle, |v'\rangle)
\end{array}
$$

ここまでを基礎に、射影オペレータがエルミートオペレータであることを証明しよう。

まず、$${|v\rangle \langle v|}$$はエルミートオペレータであることがわかる。実際に以下から $${(|v\rangle \langle v|)^* = |v\rangle \langle v|}$$ がわかる。

$$
\begin{array}{l}
((|v\rangle \langle v|)|x\rangle , |y\rangle) \\
= (|v\rangle , |x\rangle)^* (|v\rangle , |y\rangle) \\
= (|x\rangle , |v\rangle)(|v\rangle , |y\rangle) \\
= (|x\rangle , (|v\rangle \langle v|) |y\rangle)
\end{array}
$$

なお、一般的には $${(|v\rangle \langle v'|)^* = |v'\rangle \langle v|}$$ が示せる。この証明も容易なので、ぜひ確かめてほしい。

次にエルミートオペレータは、和と実数倍において再びエルミートオペレータになる。つまり$${A, B}$$がエルミートオペレータ、$${\alpha \in \mathbb{R}}$$とすると、次が成り立つ。

$$
(A + B)^* = A + B, \quad (\alpha A)^* = \alpha A
$$

これは、転置共役 $${(\cdot)^*}$$の共役線形性により明らかだ。ここまでの議論より、射影オペレータ $${P_W = \sum_{i=1}^{\dim W} |w_i \rangle \langle w_i |}$$ はエルミートオペレータであることが証明された！