量子計算学習ノート - スペクトル分解

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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これまで種々の線形オペレータを紹介してきたが、この記事では正規オペレータの非常に重要な性質であるスペクトル分解定理について紹介する。

$${A}$$が正規オペレータであることは、線形オペレータ$${A}$$が対角化可能、すなわち、適切なCONS$${\{|e_i\rangle\}}$$を用いて$${A=\sum_i \lambda_i |e_i\rangle \langle e_i|}$$と書けることの必要十分条件である。

まず、対角化可能であったときに正規オペレータであることを示す。対角表現によって、$${A^*}$$は以下のように表現できることになる。

$$
A^* = \sum_i \lambda^* |e_i\rangle \langle e_i|
$$

よって、以下が成り立つ。

$$
AA^* = \sum_i \sum_j \lambda_i \lambda_j^* |e_i\rangle \langle e_i|e_j\rangle \langle e_j| = \sum_i |\lambda_i|^2 |e_i\rangle \langle e_i|
$$

$$
A^*A = \sum_i \sum_j \lambda_i^* \lambda_j |e_i\rangle \langle e_i|e_j\rangle \langle e_j| = \sum_i |\lambda_i|^2 |e_i\rangle \langle e_i|
$$

したがって、$${AA^* = A^*A}$$のため、正規オペレータである。

次に、正規オペレータ$${A}$$が与えられたとき、これが対角化可能であることを示す。$${\lambda}$$を$${A}$$の固有値とし、$${P}$$を固有値$${\lambda}$$に対する射影オペレータ、$${Q}$$を$${P}$$の固有空間$${W}$$の直交補空間$${W^\perp}$$に対する射影オペレータとする。$${I = P + Q}$$なので、$${A}$$は以下のように書ける。

$$
A = (P + Q) A (P + Q) = PAP + PAQ + QAP + QAQ
$$

$${V}$$の任意のベクトル$${|v\rangle}$$をとって、射影定理によって$${|v\rangle = |w\rangle + |w^\perp\rangle}$$と分解する。このとき

$$
PAP |v\rangle = PA|w\rangle = P(\lambda |w\rangle) = (\lambda P)|v\rangle
$$

$$
QAP |v\rangle = QA|w\rangle = Q(\lambda |w\rangle) = 0 |v\rangle
$$

となることから、$${PAP = \lambda P}$$、$${QAP = 0}$$である。$${A}$$が正規オペレータであることから

$$
AA^* |w\rangle = A^* A |w\rangle = A^*(\lambda |w\rangle) = \lambda A^*|w\rangle
$$

となる。つまり$${A^*|w\rangle}$$というベクトルは固有空間$${W}$$のベクトルであることがわかる。このことから

$$
QA^*P |v\rangle = QA^*|w\rangle = 0 |v\rangle
$$

となり、$${QA^*P = 0}$$となる。両辺に対して転置共役を取れば$${PAQ = 0}$$が得られる。

以上のことから $${A = PAP + QAQ}$$が成立する。固有空間$${W}$$のCONS$${\{|w_i\rangle\}}$$と直交補空間$${W^\perp}$$のCONS$${\{|w^\perp_i\rangle\}}$$を取ると、$${P=\sum_i |w_i\rangle \langle w_i|, Q=\sum_i |w^\perp_i\rangle \langle w^\perp_i|}$$と書けることから

$$
A = PAP + QAQ = \sum_{i=1}^{\dim W} \lang w_i|A|w_i\rang|w_i\rang \lang w_i| + \sum_{i=1}^{\dim W^\perp} \lang w^\perp_i|A|w^\perp_i\rang|w^\perp_i\rang \lang w^\perp_i|
$$

となる。$${\{|w_i\rang\}\cup\{|w^\perp_i\rang\}}$$は大元のヒルベルト空間$${V}$$のCONSを成すため、これを$${\{|v_i\rang\}}$$とおけば

$$
A = \sum_i \lang v_i|A|v_i\rang |v_i\rang \lang v_i|
$$

とかけるため、正規オペレータ$${A}$$は対角化可能である。