【中１数学】平面図形（おうぎ形と弧の長さと面積）：古墳の王

自己紹介

**よくぞ参られた！わしは古（いにしえ）の大和（やまと）の国で、巨大な古墳（こふん）を築（きず）いた者じゃ。名前は秘密にしておくが、人々からは「古墳（こふん）の王（おう）」と呼ばれておる。わしが作った古墳は、空から見ると巨大な鍵穴（かぎあな）のような形をしておるのじゃ。これを前方後円墳（ぜんぽうこうえんふん）と呼ぶ。

わしが生きていた時代、大和の国は大きく発展しておった。人々は協力して大きな事業を成し遂げ、その証（あかし）として巨大な古墳を作ったのじゃ。わしの功績（こうせき）は、人々の力を結集（けっしゅう）して、当時の技術では不可能と思われた大きさの墳墓（ふんぼ）を作り上げたことじゃ。

わしの生きる教訓は「大きな夢を持ち、仲間と力を合わせれば、不可能も可能になる」じゃ。古墳作りは数学の知識なくしては成し得なかった。特に円や弧（こ）の計算は重要じゃった。じゃから、今日はその知識を伝授（でんじゅ）しようと思う。

さあ、古（いにしえ）の知恵を授かる準備はできたかな？わしと一緒に数学の世界を旅してみようぞ！**

なりきり解説

**よく聞くのじゃ！今日はおうぎ形と弧（こ）の長さ、そして面積について教えてやろう。

まず、おうぎ形というのは、円の一部を切り取ったような形じゃ。古墳の設計でもよく使う形じゃぞ。このおうぎ形を決めるのに大切なのが「中心角（ちゅうしんかく）」じゃ。中心から引いた2本の線の間の角度のことじゃ。

例えば、半径10cmの円があって、その中心角が90度のおうぎ形を考えてみよう。この時、弧（こ）の長さはどうなると思う？弧の長さは、円周の長さに比例（ひれい）しておる。全円（360度）の円周が2πrなら、90度分の弧の長さは（90÷360）×2πr = πr/2じゃ。今回の場合、r=10じゃから、10π/2 = 5πcmになるのじゃ。

面積はどうじゃろうか？おうぎ形の面積も、円全体の面積に対する割合で求められるぞ。円の面積がπr²なら、90度分のおうぎ形の面積は（90÷360）×πr² = πr²/4じゃ。r=10の場合、25πcm²になるのじゃ。

逆に、半径と弧の長さから中心角を求めることもできるぞ。例えば、半径12cmで弧の長さが8πcmのおうぎ形があるとしよう。弧の長さが8πcmということは、全円周の何分の1かを考えるのじゃ。全円周は2π×12=24πcmじゃ。つまり、8π÷24π = 1/3じゃな。これを角度に直すと、1/3×360° = 120°になるのじゃ。

このように、おうぎ形の計算は円周や面積の一部分を求めることじゃ。古墳作りでも、このような計算が大切じゃったぞ。**

おうぎ形と弧の長さと面積にまつわる噂話

**わしが若かりし頃のおもしろい話を聞かせてやろう。ある日、隣村の若者たちが「丸い盾（たて）」を作ろうとしておったんじゃ。ところが、材料が足りなくて困っておった。わしは「おうぎ形の盾でもよいのではないか？」と提案したのじゃ。

最初は変な顔をしていた若者たちも、わしの説明を聞いて目を輝かせたぞ。「なるほど！おうぎ形なら、少ない材料で大きな盾が作れるじゃないか！」とな。

そこで、わしは彼らに円の中心角と弧の長さの関係を教えてやったんじゃ。中心角を小さくすれば弧の長さも短くなり、材料を節約できる。逆に、中心角を大きくすれば、より大きな面積の盾が作れるとな。

若者たちは熱心にわしの話を聞き、さまざまな大きさのおうぎ形の盾を作り始めたのじゃ。村中が「おうぎ形盾」ブームに沸いたぞ！面白いことに、このおうぎ形の盾は意外と使い勝手が良く、あっという間に評判になったんじゃ。

そればかりか、このおうぎ形の知識は、後の古墳作りにも大いに役立ったのじゃよ。円や弧の計算ができるようになったおかげで、より精密な設計が可能になったんじゃ。

こうして、数学の知識が実生活に役立つことを、村人たちは身をもって体験したのじゃ。じゃから、今勉強している内容も、きっと将来役に立つはずじゃぞ！」**

練習問題と解説

さあ、ここからは練習問題じゃ。しっかり答えてみるのじゃぞ！

1. 半径が8cm、中心角が90°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。

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** 解答： **
弧の長さ：4π cm
面積：16π cm²

** 解説： **
弧の長さ：2πr × (90/360) = 2π × 8 × (1/4) = 4π cm
面積：πr² × (90/360) = π × 8² × (1/4) = 16π cm²

1. 半径が6cm、弧の長さが4πcmのおうぎ形がある。中心角を求めよ。

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** 解答： **
中心角：120°

** 解説： **
全円周：2πr = 2π × 6 = 12π cm
弧の長さの割合：4π ÷ 12π = 1/3
中心角：360° × (1/3) = 120°

1. 半径10cmの円がある。中心角が60°のおうぎ形の面積を求めよ。

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** 解答： **
面積：(50/3)π cm² ≈ 52.36 cm²

** 解説： **
円の全面積：πr² = π × 10² = 100π cm²
おうぎ形の面積：100π × (60/360) = (50/3)π cm²

1. おうぎ形の面積が18π cm²で、半径が9cmである。この時の中心角を求めよ。

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** 解答： **
中心角：80°

** 解説： **
円の全面積：πr² = π × 9² = 81π cm²
おうぎ形の面積の割合：18π ÷ 81π = 2/9
中心角：360° × (2/9) = 80°

1. 半径12cmの円で、弧の長さが8πcmのおうぎ形がある。この時の面積を求めよ。

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** 解答： **
面積：48π cm² ≈ 150.80 cm²

** 解説： **
全円周：2πr = 2π × 12 = 24π cm
弧の長さの割合：8π ÷ 24π = 1/3
中心角：360° × (1/3) = 120°
面積：πr² × (120/360) = π × 12² × (1/3) = 48π cm²

もっと詳しく勉強したい場合には、次のページがおすすめじゃ。

https://happylilac.net/jhs-math1_05-02.html

よくある質問 (FAQ)

Q1: おうぎ形の中心角が360°になったらどうなるじゃろうか？

A1: ほっほっほ、面白い質問じゃな。360°というのは一周分じゃ。つまり、おうぎ形ではなく円そのものになってしまうのじゃよ。

Q2: 弧の長さが円周の長さより長くなることはあるのかな？

A2: そりゃあ、あり得んよ。弧の長さは常に円周以下じゃ。もし弧の長さが円周より長くなったら、それはもう何周もしとることになるからのう。

Q3: おうぎ形の面積は、どんな時に最大になるんじゃろうか？

A3: 良い質問じゃ！おうぎ形の面積が最大になるのは、中心角が360°の時じゃ。つまり、円全体の面積になる時じゃな。

Q4: 半径が0のおうぎ形は存在するのかな？

A4: ほっほっほ、鋭い質問じゃ。半径が0ということは、点になってしまうのう。厳密には、それはもうおうぎ形とは呼べんじゃろう。おうぎ形には必ず面積が必要じゃからな。

Q5: 日常生活で、おうぎ形を見つけることはできるかな？

A5: もちろんじゃ！身の回りにはたくさんのおうぎ形があるぞ。例えば、ピザを切り分けた一切れ、扇子（せんす）を開いた形、時計の文字盤の一部分なんかがそうじゃ。よく観察してみるとおもしろいぞ！

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古墳を作った人が教えるおうぎ形と弧の長さと面積！円の一部を切り取った形、それがおうぎ形。中心角を知れば弧の長さも面積も計算できるぞ。古墳作りの知恵が、今の数学に生きている！ #中学数学 #おうぎ形 #古墳の知恵