Phragmën-Lindelöfの定理　

Phragmën-Lindelöfの定理　

de Branges , Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice Hall

複素数を$${z=x+iy}$$と書く。
単位円$${\mathbb{D}=\left\{ z:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1 \right\}}$$ ,
$${\bar{\mathbb{D}}=\left\{ z:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1 \right\}}$$,
$${\partial \mathbb{D}=\left\{ z:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \right\}}$$
上半平面$${\mathcal{U}=\left\{ z:y>0 \right\}}$$ ,
$${\bar{\mathcal{U}}=\left\{ z:y\ge 0 \right\}}$$,
$${\partial \mathcal{U}=\left\{ z:y=0 \right\}=\mathbb{R}}$$
という記号を使う。
$${f\left( z \right)}$$ を$${\mathbb{D}}$$で解析的、$${\bar{\mathbb{D}}}$$へ連続な関数に拡張できるとき、$${\left| f\left( z \right) \right|}$$は最大値を$${\bar{\mathbb{D}}}$$でとる。最大値原理によれば、$${f\left( z \right)}$$が定数関数でない限り$${\left| f\left( z \right) \right|}$$の最大値は$${\mathbb{D}}$$ではとられないで、境界$${\partial \mathbb{D}}$$でとられる。最大値を$${M}$$ とするとき$${f/M}$$を$${f}$$としてあらためて考えれば次のように言い換えることができる。最大値原理とは、
境界$${\partial \mathbb{D}}$$で$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$のとき、$${\mathbb{D}}$$で$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$でなければならないということである。
「$${\mathbb{D}}$$で解析的」を「$${\mathcal{U}}$$ で解析的」とおきかえることができるだろうか。
$${f\left( z \right)={{e}^{-i\,z}}}$$ を考えてみよう。$${\partial \mathcal{U}=\mathbb{R}}$$では$${\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{e}^{-ix}} \right|=1}$$であるが、上半平面$${\mathcal{U}=\left\{ z:y>0 \right\}}$$で$${\left| f\left( z \right) \right|=\left| {{e}^{-iz}} \right|={{e}^{y}}}$$となるので、最大値原理がなりたっていない。これは単位円$${\mathbb{D}}$$は有界であるが、上半平面$${\mathcal{U}}$$は有界でないことに起因している。それでも成り立つようにするには何らかの仮定が必用である。
実際、次に述べるPhragmën-Lindelöfの定理が上半平面$${\mathcal{U}}$$での最大値原理を成り立たせる十分条件を与えてくれる。
 

定理１．｛Phragmën-Lindelöf）$${f\left( z \right)}$$ を$${\mathcal{U}}$$で解析的な関数$${\left| f\left( z \right) \right|}$$が$${\bar{\mathcal{U}}=\left\{ z:y\ge 0 \right\}}$$で連続で、
$${\underset{r\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,{{r}^{-1}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\log }^{+}}\left| f\left( r{{e}^{i\theta }} \right) \right|\sin \theta d\theta =0}}$$
をみたすと仮定する。このとき、
もし、$${z\in \mathbb{R}=\partial \mathcal{U}}$$で$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$のとき、$${\mathcal{U}}$$ で$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$が成り立つ。

記号：$${x>0}$$にたいして
$${{{\log }^{+}}x=\max \left( 0,\log x \right)}$$を用いた。

 
証明：　実数$${\theta }$$ の連続で$${2\pi }$$ 周期をもつ実数値関数$${h\left( \theta \right)}$$をとり、そのポアソン積分を考える。すなわち、$${\left| z \right|<1}$$のとき
$${g\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{i\theta }}+z}{{{e}^{i\theta }}-z}h\left( \theta \right)d\theta }}$$
この積分の両辺の実数部分から、$${\operatorname{Re}g\left( z \right)}$$は$${\left| z \right|\le 1}$$まで連続な拡張をもち、$${h\left( \theta \right)=\operatorname{Re}g\left( {{e}^{i\theta }} \right)}$$がすべての実数$${\theta }$$でなりたつことがわかる。
いまここで特に、$${h\left( \theta \right)={{\log }^{+}}\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}$$, $${0\le \theta \le \pi }$$ とおき、 $${h\left( \theta \right)}$$ を周期$${2\pi }$$ の奇関数であるように拡張したものをとる。実軸上$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$の仮定から$${z\in \mathbb{R}=\partial \mathcal{U}}$$で$${{{\log }^{+}}\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|=0}$$であるから奇関数にすることは可能である。

その結果$${\left| z \right|<1}$$のとき
$${g\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{e}^{i\theta }}+z}{{{e}^{i\theta }}-z}h\left( \theta \right)d\theta }-\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{e}^{-i\theta }}+z}{{{e}^{-i\theta }}-z}h\left( \theta \right)d\theta }}$$
と書き直せる。そして、ポアソン核
$${\operatorname{Re}\frac{{{e}^{i\theta }}+z}{{{e}^{i\theta }}-z}=\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}}}$$
により
$${\operatorname{Re}g\left( z \right)=\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{h\left( \theta \right)d\theta }{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}}}-\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{h\left( \theta \right)d\theta }{{{\left| {{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}}}$$
となる。
$${\frac{1}{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}}-\frac{1}{{{\left| {{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}=\frac{4y\sin \theta }{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}{{\left| {{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}}$$
から
$${\operatorname{Re}g\left( z \right)=\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{4yh\left( \theta \right)\sin \theta d\theta }{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}{{\left| {{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}}}$$
がえられる。右辺は$${y=0}$$で右辺は０となるので、$${\operatorname{Re}g\left( x \right)=0, -1< x<1}$$に注意しておく。 $${\partial \mathbb{D}}$$で
$${\frac{\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}{{{e}^{\operatorname{Re}g\left( {{e}^{i\theta }} \right)}}}=\frac{\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}{{{e}^{h\left( \theta \right)}}}=\frac{\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}{{{e}^{{{\log }^{+}}\left| f\left( {{e}^{i\theta }} \right) \right|}}}\le 1}$$
$${z\in \mathbb{R}}$$のとき、
$${\frac{\left| f\left( x \right) \right|}{{{e}^{\operatorname{Re}g\left( x \right)}}}=\left| f\left( x \right) \right|\le 1}$$
これから、最大値の原理をつかって$${\left| f\left( z \right) \right|\le {{e}^{\operatorname{Re}g\left( z \right)}}}$$, $${\left| z \right|<1,y>0}$$ .
すなわち、
$${\log \left| f\left( z \right) \right|\le \frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{4yh\left( \theta \right)\sin \theta d\theta }{{{\left| {{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}{{\left| {{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}}}$$, $${\left| z \right|<1,y>0}$$.
が得られた。

$${r>0}$$ をとり、$${f\left( z \right)}$$ のかわりに$${f\left( rz \right)}$$を考えて、上と同じ議論を繰り返す。その結果、
$${\log \left| f\left( z \right) \right|\le \frac{{{r}^{2}}-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{4ry{{\log }^{+}}f\left( r{{e}^{i\theta }} \right)\sin \theta d\theta }{{{\left| r{{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}{{\left| r{{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}}}$$,$${\left| z \right|< r, y>0}$$
が成り立つ。

$${r\approx \infty }$$ のとき、右辺は
$${\frac{{{r}^{2}}-{{\left| z \right|}^{2}}}{2\pi }\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{4ry{{\log }^{+}}f\left( r{{e}^{i\theta }} \right)\sin \theta d\theta }{{{\left| r{{e}^{i\theta }}-z \right|}^{2}}{{\left| r{{e}^{-i\theta }}-z \right|}^{2}}}\approx \left( \frac{2y}{\pi } \right){{r}^{-1}}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\log }^{+}}f\left( r{{e}^{i\theta }} \right)}}\sin \theta d\theta \to 0}$$（$${r\to \infty }$$）
つまり、
$${\log \left| f\left( z \right) \right|\le 0}$$が$${\left| z \right|< r, y > 0}$$について成り立つ。結局$${\mathcal{U}}$$全体で
$${\left| f\left( z \right) \right|\le 1}$$ となる。

定理２：
$${h\left( x \right)}$$は実数$${x}$$の連続関数で、$${h\left( x \right)\ge 1}$$そして
$${\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)}{1+{{t}^{2}}}}dt<\infty }$$
を満たすとする。このとき、
$${\log f\left( z \right)=\frac{1}{\pi i}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{1+{{z}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\frac{\log h\left( t \right)}{t-z}}dt+\frac{z}{\pi i}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)}{1+{{t}^{2}}}}dt<\infty }$$
で定義される関数$${f\left( z \right)}$$は$${\mathcal{U}}$$ で解析的であり、$${\left| f\left( z \right) \right|\ge 1}$$、$${\left| f\left( z \right) \right|}$$は$${\bar{\mathcal{U}}=\left\{ z:y\ge 0 \right\}}$$で連続、$${\left| f\left( x \right) \right|=h\left( x \right)}$$ が$${x\in \mathbb{R}}$$ で成り立つ。

 $${\frac{1+{{z}^{2}}}{i\left( t-z \right)}-\frac{1+{{{\bar{z}}}^{2}}}{i\left( t-\bar{z} \right)}+\frac{z}{i}-\frac{{\bar{z}}}{i}=2y\frac{1+{{t}^{2}}}{{{\left( t-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}}$$
より、
$${\operatorname{Re}\left( \log f\left( z \right) \right)=\log \left| f\left( x+iy \right) \right|}$$
であり、
$${\operatorname{Re}\left\{ \frac{1}{\pi i}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{1+{{z}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\frac{\log h\left( t \right)}{t-z}}dt+\frac{z}{\pi i}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)}{1+{{t}^{2}}}}dt \right\}}$$
$${=\frac{y}{\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)dt}{{{\left( t-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}}}$$
つまり、
$${\log \left| f\left( x+iy \right) \right|}$$$${=\frac{y}{\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)dt}{{{\left( t-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}}}$$,$${y>0}$$
が成り立つ。右辺は正であるから、$${z\in \mathcal{U}}$$ のとき、$${\left| f\left( z \right) \right|\ge 1}$$がわかる。
$${{{P}_{y}}\left( x \right)=\frac{1}{\pi }\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$$を$${\mathcal{U}}$$におけるポアソン核とすると
$${\log \left| f\left( x+iy \right) \right|}$$$${=\frac{y}{\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\frac{\log h\left( t \right)dt}{{{\left( t-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}}={{P}_{y}}*\log h\left( x \right)}$$
なので、$${x+iy\to {{x}_{0}}}$$ で$${\log \left| f\left( {{x}_{0}} \right) \right|=\text{log}h\left( {{x}_{0}} \right)}$$となる。すなわち、$${{{x}_{0}}}$$は任意であるから$${\left| f\left( x \right) \right|=h\left( x \right)}$$ が$${x\in \mathbb{R}}$$ で成り立つ。