陰関数定理　2変数複素関数の場合

陰関数定理　2変数複素関数の場合
 
領域$${D\subset {{\mathbb{C}}^{2}}}$$ を定義域とする2変数複素関数
$${F:D\to \mathbb{C}}$$ ,$${\left( \zeta ,\eta \right)\mapsto F\left( \zeta ,\eta \right)}$$
を考える。
$${F}$$は連続とする。
$${\eta }$$を任意に固定するごとに$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$は$${\zeta }$$ に関して正則で
$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$
と仮定する。このとき、$${w={{w}_{0}}}$$の近傍で定義された関数$${z=g\left( w \right)}$$をあたえることで$${F\left( z,w \right)=0}$$とできる。すなわち、$${F\left( g\left( w \right),w \right)=0}$$となる。
同様に、
$${\zeta }$$を任意に固定するごとに$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$は$${\eta }$$に関して正則で
$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \eta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$
と仮定する。このとき、$${z={{z}_{0}}}$$ の近傍で定義された関数$${w=h\left( z \right)}$$ をあたえることで$${F\left( z,w \right)=0}$$とできる。すなわち、$${F\left( z,h\left( z \right) \right)=0}$$となる。
$${F\left( z,w \right)=0}$$を陰関数表示といい、$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$または$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \eta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$
の条件があれば、$${F\left( z,w \right)=0}$$は陰関数による関係を陽関数$${z=g\left( w \right)}$$または陽関数$${w=h\left( z \right)}$$による関係式を与えることができる。この事実は陰関数定理とよばれる。
これを今回みていこう。
$${\left( z,w \right)}$$は$${F\left( \zeta ,\eta \right)=0}$$が表わす連続曲線上の点とする（すなわち、$${F\left( z,w \right)=0}$$）。
｛すこしややこしいのだが、2変数複素関数$${\left( \zeta ,\eta \right)\mapsto F\left( \zeta ,\eta \right)}$$を考えるには$${\left( \zeta ,\eta \right)}$$は$${D\subset {{\mathbb{C}}^{2}}}$$の2次元平面（$${{{\mathbb{C}}^{2}}\simeq {{\mathbb{R}}^{4}}}$$ ）をうごく点であるが、$${\left( z,w \right)}$$は$${F\left( \zeta ,\eta \right)=0}$$が表わす曲線上の点、すなわち１次元（$${\mathbb{C}\simeq {{\mathbb{R}}^{2}}}$$ ）をうごく点をあらわす。（記号法の関係上、証明途中でこの規則をやぶる。読者はこの区別に目を凝らし注意を払ってほしい）。｝
 
 
陰関数定理(simple form)
１）$${\eta }$$を任意に固定するごとに$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$は$${\zeta }$$ に関して正則で
$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$
と仮定する。このとき、$${w={{w}_{0}}}$$の近傍で定義された関数$${z=g\left( w \right)}$$ をあたえることで$${F\left( z,w \right)=0}$$とできる。すなわち$${w={{w}_{0}}}$$ の近傍で、$${F\left( g\left( w \right),w \right)=0}$$をみたす。
２）$${\eta ={{w}_{0}}}$$ の近傍で、$${\zeta }$$を任意に固定するごとに$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$は$${\eta }$$に関して正則であると仮定するとき、１）であたえた$${g\left( w \right)}$$は正則であり、
$${g'\left( w \right)=\frac{d}{dw}g\left( w \right)={{\left. \frac{-\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \eta }}{\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta }} \right|}_{\left( g\left( w \right),w \right)}}}$$
が成り立つ。（右辺の分母は０でない）
３）$${0<\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho }$$において$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)\ne 0}$$となる$${\rho }$$ を選ぼう（正則関数のゼロは孤立点であるから、$${\rho }$$を十分小にすれば$${\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}$$ 以外にゼロがない近傍$${0<\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho }$$をえらべる）。このとき、$${\delta >0}$$が存在して$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$に対して
$${g\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{\zeta \frac{\partial F\left( \zeta ,w \right)}{\partial \zeta }d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}}$$
が成り立つ。すなわち、$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$をみたす各々$${w}$$ に対して、$${0<\left| z-{{z}_{0}} \right|\le \rho }$$をみたす$${z}$$ が一意に定まり、$${z=g\left( w \right)}$$ が$${F\left( z,w \right)=0}$$の解であることすなわち、$${F\left( g\left( w \right),w \right)=0}$$が成り立つ。また対応
$${g:\left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}\to \left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|<\rho \right\}}$$
は１対１である。（単射）
 
証明）$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$の変数のうち$${\eta ={{w}_{0}}}$$と固定した $${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$ を$${\zeta }$$ について正則な一変数複素関数と見てみる。$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$は$${\zeta ={{z}_{0}}}$$ をゼロ点としている。$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$の条件を特に$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$が満たす条件と考えれば　$${{{\left. \frac{dF\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}{d\zeta } \right|}_{\zeta ={{z}_{0}}}}\ne 0}$$となり、$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$が$${\zeta ={{z}_{0}}}$$の近傍で定数ではないこと、$${\zeta ={{z}_{0}}}$$の小さい近傍をとれば$${\zeta \ne {{z}_{0}}}$$ で$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$が０にならないことがわかる（正則関数のゼロ点は孤立しているから）。つまり、ある$${\rho >0}$$で
$${0<\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho }$$のとき、$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)\ne 0}$$である。とくに、$${\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }$$で$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)\ne 0}$$である。
――――――
メモ）
$${{{B}_{\mu }}\left( \zeta ' \right)=\left\{ \zeta :\left| \zeta -\zeta ' \right|<\mu \right\}}$$ ,
$${{{B}_{\lambda }}\left( \eta ' \right)=\left\{ \eta :\left| \eta -\eta ' \right|<\lambda \right\}}$$
とおく。$${{{\mathbb{C}}^{2}}=\mathbb{C}\times \mathbb{C}}$$ のトポロジは、$${{{B}_{\mu }}\left( \zeta ' \right)\times {{B}_{\lambda }}\left( \eta ' \right)}$$ から生成される開集合で定義される。
ーーーー
$${\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho }$$ のとき、$${F\left( z,{{w}_{0}} \right)\ne 0}$$であった。つまり、
$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)\supset \left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$
が成り立つ。
$${F\left( \zeta ,\eta \right)}$$は連続関数であることから$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)}$$は$${{{\mathbb{C}}^{2}}}$$における開集合であり、$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$をすこしだけふくらませて、$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}}$$の各点$${z}$$ について、
$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)\supset \left\{ \zeta :\left| \zeta -z \right|<{{\rho }_{z}} \right\}\times \left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<{{\lambda }_{z}} \right\}}$$
となるように十分小さい$${{{\rho }_{z}}>0}$$ $${{{\lambda }_{z}}>0}$$ をとることができる。

$${\left\{ \zeta :\left| \zeta -z \right|<{{\rho }_{z}} \right\}\times \left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<{{\lambda }_{z}} \right\}}$$はメモで述べた$${{{B}_{\mu }}\left( \zeta ' \right)\times {{B}_{\lambda }}\left( \eta ' \right)}$$である。$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}}$$の各点$${z}$$に対応する$${{{\mathbb{C}}^{2}}}$$集合
$${\bigcup\limits_{z\in \left\{ \left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}}{\left\{ \left\{ \zeta :\left| \zeta -z \right|<{{\rho }_{z}} \right\}\times \left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<{{\lambda }_{z}} \right\} \right\}}}$$
は、コンパクト集合
$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$
の開被覆をつくっている。したがってそのうち有限個の$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},\cdots ,{{z}_{n}}\in \left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}}$$を選んで$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$の有限開被覆とできる。すなわち、
$${\left| {{z}_{k}}-{{z}_{0}} \right|=\rho }$$ ,$${k=1,2,\cdots ,n}$$で
$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)}$$
$${\supset \bigcup\limits_{k=1}^{n}{\left\{ \left\{ \zeta :\left| \zeta -{{z}_{k}} \right|<{{\rho }_{{{z}_{k}}}} \right\}\times \left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<{{\lambda }_{{{z}_{k}}}} \right\} \right\}}}$$
$${\supset }$$$${\left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$
とできる。 $${\delta =\underset{1\le k\le n}{\mathop{\min }}\,{{\lambda }_{{{z}_{k}}}}}$$とおけば、
ある$${\varepsilon >0}$$を用いて
$${\left\{ \rho -\varepsilon <\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|<\rho +\varepsilon \right\}\times \left\{ \left| \eta -{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}}$$が$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)}$$に含まれ$${\left\{ \zeta :\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$
の開被覆となっているようにできる。つまり、
$${{{F}^{-1}}\left( \mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\} \right)}$$
$${\supset }$$$${\left\{ \rho -\varepsilon <\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|<\rho +\varepsilon \right\}\times \left\{ \left| \eta -{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}}$$
$${\supset }$$$${\left\{ \zeta :\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho \right\}\times \left\{ {{w}_{0}} \right\}}$$
となる。いいかえれば、任意の
$${\left( \zeta ,\eta \right)\in \left\{ \rho -\varepsilon <\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|<\rho +\varepsilon \right\}\times \left\{ \left| \eta -{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}}$$
に対して、$${F\left( \zeta ,\eta \right)\ne 0}$$となる。
――――――
メモ）
次のことが成り立ってほしい: 上で定めた$${\delta }$$
（$${\delta =\underset{1\le k\le n}{\mathop{\min }}\,{{\lambda }_{{{z}_{k}}}}}$$）に対して$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$となる$${w}$$ をひとつ固定する。このとき、$${\left| z-{{z}_{0}} \right|\le \rho -\varepsilon }$$を満たすある$${z}$$について$${z=g\left( w \right)}$$ かつ$${F\left( z,w \right)=0}$$ が成り立つ。しかもこの$${z}$$ は$${F\left( \zeta ,w \right)=0}$$の単根である。また、積分公式
$${z=g\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{{{\left. \zeta \frac{\partial F\left( \zeta ,w \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}}$$
が得られる。（任意の$${\left( \zeta ,\eta \right)\in \left\{ \rho -\varepsilon <\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|<\rho +\varepsilon \right\}\times \left\{ \left| \eta -{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}}$$に対して、$${F\left( \zeta ,\eta \right)\ne 0}$$であったから、公式の被積分関数の分母$${F\left( \zeta ,w \right)}$$ はゼロにならない）。
 
証明の続き）$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$ をみたす各$${w}$$ について、
$${N\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}}$$
とおく。これは$${w}$$ について正則関数。他方偏角原理より整数値である。
整数値をとる正則関数は定数でなくてはならないので、$${N\left( w \right)=const=N\left( {{w}_{0}} \right)}$$。われわれの最初に置いた仮定$${F\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)=0}$$、$${{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( {{z}_{0}},{{w}_{0}} \right)}}\ne 0}$$より$${N\left( {{w}_{0}} \right)=1}$$ をえるので、$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$をみたすすべての$${w}$$に対して$${N\left( w \right)=1}$$が導かれる。
――
メモ
$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$ は$${\zeta ={{z}_{0}}}$$ でゼロとなる。
$${\rho \ge \left| \zeta -{{z}_{0}} \right|>\rho -\varepsilon }$$では$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)\ne 0}$$であった。したがって、$${N\left( {{w}_{0}} \right)=1}$$より$${F\left( \zeta ,{{w}_{0}} \right)}$$は、$${\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho -\varepsilon }$$でただ一つのゼロを持っていることになる。
$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$で$${N\left( w \right)=1}$$ より、$${F\left( \zeta ,w \right)}$$も、$${\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho -\varepsilon }$$,$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$でただ一つゼロをもつことになる。その点を$${\left( z,w \right)}$$ とおく。$${N\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{{{\left. \frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}}$$をかんがえるとき、$${\left( z,w \right)}$$が被積分関数の特異点が1個simple poleである、つまり$${F\left( z,w \right)=0}$$が成り立つだけでなく、$${\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|<\rho }$$, $${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$において$${\left( z,w \right)}$$ は$${F\left( \zeta ,w \right)=0}$$の単根であることを言っている。
――――
このことから、
$${\left\{ w:\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta \right\}\to \left\{ z:\left| z-{{z}_{0}} \right|<\rho \right\}}$$
をあたえる関数$${z=g\left( w \right)}$$ がきまる。しかも、$${0=F\left( z,w \right)=F\left( g\left( w \right),w \right)}$$となっているのである。
 $${z=g\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{{{\left. \zeta \frac{\partial F\left( \zeta ,w \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}}$$
を証明しよう。むつかしそうに見えるが、じつは留数をつかえば簡単である。
$${\zeta =z}$$ は$${F\left( \zeta ,w \right)=0}$$ の$${\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|\le \rho }$$において単根であるから$${w}$$を固定して
被積分関数を　$${\frac{{{\left. \zeta \frac{dF\left( \zeta ,w \right)}{d\zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}}{F\left( \zeta ,w \right)}}$$とみなすと、この関数は$${\zeta =z}$$において一次の極をもつので
$${\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{{{\left. \zeta \frac{\partial F\left( \zeta ,w \right)}{\partial \zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}d\zeta }{F\left( \zeta ,w \right)}}=\text{Residue}\left( \frac{{{\left. \zeta \frac{dF\left( \zeta ,w \right)}{d\zeta } \right|}_{\left( \zeta ,w \right)}}}{F\left( \zeta ,w \right)},\zeta =z \right)}$$
$${\underset{\zeta \to z}{\mathop{=\lim }}\,\frac{{{\left. \left( \zeta -z \right)\zeta \frac{dF\left( \zeta ,w \right)}{d\zeta } \right|}_{z}}}{F\left( \zeta ,w \right)}}$$
$${\underset{\zeta \to z}{\mathop{=\lim }}\,\frac{{{\left. \zeta \frac{dF\left( \zeta ,w \right)}{d\zeta } \right|}_{z}}}{\frac{F\left( \zeta ,w \right)-F\left( z,w \right)}{\zeta -z}}=z}$$
この式は、$${z}$$が$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$をみたす$${w}$$ をあたえるごとに一つ決まる値であることを示している。これを$${z=g\left( w \right)}$$とおけばよい。
証明おわり
 
$${g'\left( w \right)=\frac{d}{dw}g\left( w \right)={{\left. \frac{-\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \eta }}{\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta }} \right|}_{\left( g\left( w \right),w \right)}}}$$
の証明が残っていた！
 
$${F\left( g\left( w \right),w \right)=0}$$の両辺を$${w}$$ で微分すると、
$${\frac{\partial F}{\partial \zeta }g'\left( w \right)+\frac{\partial F}{\partial \eta }=0}$$
を変形すればよい。
証明終わり
 
応用として
 
逆関数定理 （陰関数定理の系）
正則関数$${w=f\left( z \right)}$$に対して $${f\left( {{z}_{0}} \right)={{w}_{0}}}$$で、$${f'\left( {{z}_{0}} \right)\ne 0}$$とすれば、
正則関数$${z=g\left( w \right)}$$が存在する。
$${g={{f}^{-1}}}$$である。
証明は$${F\left( z,w \right)=f\left( z \right)-w}$$ とおけばよい。
$${{{w}_{0}}=f\left( {{z}_{0}} \right)}$$とするとき、ある$${\delta >0}$$が存在して$${\left| w-{{w}_{0}} \right|<\delta }$$をみたす各々$${w}$$に対して、$${{{f}^{-1}}=g}$$あるいは$${z=g\left( w \right)}$$となる。そして、
$${{{f}^{-1}}\left( w \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\left| \zeta -{{z}_{0}} \right|=\rho }{\frac{\zeta f'\left( \zeta \right)d\zeta }{f\left( \zeta \right)-w}}}$$
$${g'\left( w \right)=\frac{d}{dw}g\left( w \right)={{\left. \frac{-\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \eta }}{\frac{\partial F\left( \zeta ,\eta \right)}{\partial \zeta }} \right|}_{\left( g\left( w \right),w \right)}}}$$から、$${\left( {{f}^{-1}} \right)'\left( w \right)=\frac{1}{f'\left( g\left( w \right) \right)}}$$ が得られる。

Jacobian Conjecture