L^2(μ）の不変部分空間（一般の場合）

$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$の不変部分空間（一般の場合）
 
不変部分空間invariant subspaces の研究には複素解析と調和解析への作用素理論による方法が基本的である。部分空間$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ が$${z}$$ による掛け算について不変部分空間であるというのは$${zE\subset E}$$ すなわち、$${f\in E\Rightarrow zf\in E}$$ となることである。
円周$${\mathbb{T}}$$ の元$${z={{e}^{it}}}$$を掛けるという作用素
$${S:f\left( {{e}^{it}} \right)\to {{e}^{it}}f\left( {{e}^{it}} \right)}$$, $${f\in {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$
はシフト作用素とも呼ばれている。というのは、$${f\in {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$のフーリエ級数
$${f\left( {{e}^{it}} \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{c}_{n}}{{e}^{int}}}}$$を
$${\left( \cdots ,{{c}_{-3}},{{c}_{-2}},{{c}_{-1}},{{c}_{0}},{{c}_{1}},\cdots \right)\in {{l}^{2}}\left( \mathbb{Z} \right)}$$
$${{{{l}^{2}}\left( \mathbb{Z} \right)}=\left\{ {{\left( {{c}_{n}} \right)}_{n\in \mathbb{Z}}}:{{c}_{n}}\in\mathbb{C},\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}{{{\left| {{c}_{n}} \right|}^{2}}<\infty } \right\}}$$
に対応づけると
$${{{e}^{it}}f\left( {{e}^{it}} \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{c}_{n}}{{e}^{\operatorname{i}\left( n+1 \right)t}}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{c}_{n-1}}{{e}^{\operatorname{i}nt}}}}$$
となるので、
$${f\sim \left( {{c}_{n}} \right)=\left( \cdots ,{{c}_{-3}},{{c}_{-2}},{{c}_{-1}},{{c}_{0}},{{c}_{1}},\cdots \right)}$$
$${{{e}^{it}}f\sim }$$$${\left( {{c}_{n-1}} \right)=\left( \cdots ,{{c}_{-4}},{{c}_{-3}},{{c}_{-2}},{{c}_{-1}},{{c}_{0}},\cdots \right)}$$
と掛け算の結果ベクトルとして左側へのシフトが施されるからである。
記号を整理しておこう。
$${\mathbb{T}=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|=1 \right\}}$$を複素平面$${\mathbb{C}}$$における単位円とし、$${\mu }$$を$${\mathbb{T}}$$上で定義された非負の有限測度とする。 $${\mathbb{T}}$$上で基準化されたルベッグ測度を$${m}$$とする。すなわち、
$${m\left\{ {{e}^{it}}:{{\theta }_{1}}\le \theta \le {{\theta }_{2}} \right\}=\frac{{{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}}{2\pi }}$$ ,
$${0\le {{\theta }_{2}}-{{\theta }_{1}}\le 2\pi }$$
$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$を$${\mu }$$に関して$${\mathbb{T}}$$上２乗可積分な関数で作るヒルベルト空間とする。すなわち、$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)={{L}^{2}}\left( \mu ,\mathbb{T} \right)=\left\{ f:\left\| f \right\|_{2}^{2}=\int\limits_{\mathbb{T}}{{{\left| f \right|}^{2}}d\mu <\infty } \right\}}$$
と定義する。部分空間$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$の閉包を$${clos\,\,E}$$ と書くことにする。
$${E=clos\,\,E}$$を仮定して$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ の不変部分空間は次のように記述される。
$${E={{E}_{f}}=span\left\{ {{z}^{n}}f:n\ge 0 \right\}}$$
ここで、$${span\left\{ {{f}_{i}}:i\in I \right\}}$$は有限個の$${{{f}_{i}},i\in I}$$を用いて一次結合をつくりその全体の閉包として定義する。$${E={{E}_{f}}=span\left\{ {{z}^{n}}f:n\ge 0 \right\}}$$はあきらかに不変部分空間である。このとき、偶然$${{{E}_{f}}={{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ となってしまう場合もある。そのような場合$${f}$$ はサイクリックcyclicであるといわれる。サイクリックな$${f}$$を記述する問題は近似の問題approximation problemである。
（$${{{E}_{f}}={{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$は重み付き空間$${{{L}^{2}}\left( wd\mu \right)}$$ ,$${w={{\left| f \right|}^{2}}}$$ における多項式たちの稠密性を意味している）
次の２つは区別される：$${zE=E}$$ のとき、$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ はdoubly invariant, または2-不変とよばれる。これは$${zE\subset E}$$かつ$${\bar{z}E\subset E}$$とおなじであり、reducingと呼ばれる。これに対して$${zE=E}$$ ,$${zE\underset{\ne }{\mathop{\subset }}\,E}$$ となるときはsimply invariant　１－不変と呼ばれる。
定理１(N.Wiener)$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ とする。2不変 となる必要十分条件はある可測集合$${\sigma \subset \mathbb{T}}$$が（一意に）存在して
$${E={{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( \mu \right)=\left\{ f\in {{L}^{2}}\left( \mu \right);f=0\,\,\mu -a.e\,\,on\,\mathbb{T}\backslash \sigma \right\}}$$
となることである。ここで、$${{{\chi }_{\sigma }}}$$は$${\sigma }$$ の特性関数である。

ハーディ空間$${{{H}^{2}}\subset {{L}^{2}}}$$ を思い出しておこう。$${\int\limits_{\mathbb{T}}{{{z}^{n}}{{{\bar{z}}}^{k}}dm=\int\limits_{0}^{2\pi }{{{e}^{int}}{{e}^{-imt}}\frac{dt}{2\pi }}}={{\delta }_{n-m}}}$$ であることから$${{{\left\{ {{z}^{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{Z}}}}$$ は$${{{L}^{2}}={{L}^{2}}\left( m \right)}$$で正規直交系をなしている。$${f\in {{L}^{2}}}$$ の$${{{\left\{ {{z}^{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{Z}}}}$$に関するフーリエ級数は
$${f=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}{\hat{f}\left( n \right){{z}^{n}}}}$$ ,
$${\hat{f}\left( n \right)=\int\limits_{\mathbb{T}}{f\,{{{\bar{z}}}^{n}}}dm}$$ ,
$${n\in \mathbb{Z}}$$
と書ける。パセバルの等式
$${{{\int\limits_{\mathbb{T}}{\left| f \right|}}^{2}}dm={{\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}{\left| \hat{f}\left( n \right) \right|}}^{2}}}$$
を考慮すると
$${f\leftrightarrow \left( \hat{f}\left( n \right) \right),}$$$${{{L}^{2}}\leftrightarrow {{l}^{2}}\left( \mathbb{Z} \right)}$$
という同型を与えている。そして$${{{L}^{2}}}$$の関数$${f}$$ に$${z}$$ をかけることと$${{{l}^{2}}\left( \mathbb{Z} \right)}$$で$${\left( \hat{f}\left( n \right) \right)\to \left( \hat{f}\left( n-1 \right) \right),}$$ という右側シフトが対応する（同一視できる）。$${L^2}$$の部分空間
$${{{H}^{2}}=span\left\{ {{z}^{n}};n\ge 0 \right\}=\left\{ f\in {{L}^{2}}:\hat{f}\left( n \right)=0,n<0 \right\}}$$
をハーディ空間と呼ぶ。
つぎに$${m}$$ を$${\mathbb{T}}$$上で基準化されたルベッグ測度で$${\mu =m}$$とした特別な場合
$${{{L}^{2}}={{L}^{2}}\left( m \right)}$$の場合のsimply invariant な空間を記述しよう。
 
定理２（Beuring の定理）
$${E\ne \left\{ 0 \right\}}$$ ,$${E\subset {{H}^{2}}}$$ ,$${zE\subset E}$$ と仮定する。このとき、$${\Theta \in {{H}^{2}}}$$で$${\left| \Theta \right|=1}$$a.e.on$${\mathbb{T}}$$ となるものが存在して、$${E=\Theta {{H}^{2}}}$$と書ける。

一般の場合$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ の不変閉部分空間は以下のようになる。
定理３（H.Helson,１９６４）
$${d\mu =d{{\mu }_{a}}+d{{\mu }_{s}}}$$を有限ボレル測度$${\mu }$$のルベッグ分解とする。すなわち、$${{\mu }_{a}}$$は絶対連続成分、$${{\mu }_{s}}$$は特異成分である。
$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ がsimply invariant な不変部分空間とする。このとき、$${m\sigma =0}$$ となる$${\sigma \subset \mathbb{T}}$$ と可測関数$${\Theta }$$が存在して次の条件Aを満たす。
A：$${E=\Theta {{H}^{2}}\oplus {{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)}$$ ,
$${\Theta {{H}^{2}}\subset {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{a}} \right)}$$ ,
$${{{\left| \Theta \right|}^{2}}w\equiv 1}$$
ここで、$${w}$$ は$${d{{\mu }_{a}}=wdm}$$ とかけるラドンニコディム微分である。
逆に、$${\sigma \subset \mathbb{T}}$$と可測関数$${\Theta }$$が条件Aを満たせば、$${\Theta {{H}^{2}}\oplus {{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)}$$はsimply invariantな不変部分空間となる。
 
定理３は定理１と定理２の組み合わせでできている。
$${d\mu =d{{\mu }_{a}}+d{{\mu }_{s}}}$$という分解に応じて
$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)={{L}^{2}}\left( d{{\mu }_{a}} \right)\oplus {{L}^{2}}\left( d{{\mu }_{s}} \right)}$$
という直和分解が得られ
$${{{L}^{2}}\left( d{{\mu }_{a}} \right)}$$の部分には定理２が適応されており、
すなわち　$${\Theta {{H}^{2}}\subset {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{a}} \right)}$$
$${{{L}^{2}}\left( d{{\mu }_{s}} \right)}$$の部分には定理１が適応されている。
すなわち　$${{{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)\subset {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)}$$
 が適用されていることがわかる。
 
めも：定理3は定理１と定理２の単なる一般化と考えてしまうとその重要性を見失ってしまう。Helson は定常確率過程の予測の理論を定理３の背景としていることに注意しなければならない。
実際、定理３の証明にはWold-Kolmogorovの分解定理が用いられる。$${\mu }$$ を確率として、ヒルベルト空間$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$における定常確率過程の時間の流れはシフトによりあらわされ、内積は確率過程の共分散、ノルムの２乗は分散を表している。
$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$のワルド分解を$${E=\left( \sum\limits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}\mathcal{D}} \right)\oplus \bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}}$$
とする。ここで、
$${\mathcal{D}=E\ominus zE}$$
はイノベーション（新規な事象）。$${z\mathcal{D}}$$ は昨日のイノベーション、$${{{z}^{2}}\mathcal{D}}$$はおとといのイノベーション、$${\cdots }$$ $${{{z}^{n}}\mathcal{D}}$$は$${n}$$日前のイノベーションこれらは独立事象である（正確にはガウス分布でないときは無相関）。そしてそれでとりきれない無限過去が$${\bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}}$$に詰まっている。
さて数学のはなしにもどろう。
$${0\ne \Theta \in \mathcal{D}}$$ ,$${{{\left\| \Theta \right\|}_{{{L}^{2}}\left( \mu \right)}}=1}$$
をとる。
$${\Theta \bot zE}$$,$${\Theta \in E}$$ ,$${{{z}^{n}}\Theta \in zE}$$（$${n\ge 1}$$ ）
であるから
$${\int\limits_{\mathbb{T}}{\left( {{z}^{n}}\Theta \right)}\bar{\Theta }d\mu =\int\limits_{\mathbb{T}}{{{z}^{n}}}{{\left| \Theta \right|}^{2}}d\mu =0}$$,$${n\ge 1}$$ 。両辺の複素共役をとると同じ式が$${n\le -1}$$ でなりたつ式となっている。多項式が$${C\left( \mathbb{T} \right)}$$ で稠密であることを考えると
$${{{\left| \Theta \right|}^{2}}d\mu =cdm}$$
となる定数$${c}$$があるはず。しかし、
$${{{\left\| \Theta \right\|}_{{{L}^{2}}\left( \mu \right)}}=1}$$
すなわち、
$${1={{\int\limits_{\mathbb{T}}{\left| \Theta \right|}}^{2}}d\mu =c\int\limits_{\mathbb{T}}{dm}=c}$$
となるので、
$${dm={{\left| \Theta \right|}^{2}}d\mu ={{\left| \Theta \right|}^{2}}d{{\mu }_{a}}+{{\left| \Theta \right|}^{2}}d{{\mu }_{s}}}$$
となる。これから、
$${\Theta =0,a.e.{{\mu }_{s}}}$$
であり、
$${d{{\mu }_{a}}=wdm}$$
より
$${{{\left| \Theta \right|}^{2}}wdm=dm}$$
つまり、
$${{{\left| \Theta \right|}^{2}}w=1}$$a.e.$${m}$$
となる。ワルド分解より
$${\bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}=z\bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}}$$
となるので、$${\bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}}$$は２invariant。
定理１をつかって
$${\bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}={{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$
となる$${\sigma \subset \mathbb{T}}$$ が存在する。
$${\Theta \in \mathcal{D}\bot \bigcap\nolimits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}E}}$$
なので、$${\Theta \bot {{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$。ということは$${\sigma \subset \mathbb{T}}$$の上で$${\Theta =0}$$$${\mu }$$a.e.。しかし、$${\Theta \ne 0,m\,a.e.}$$であることから、$${m\sigma =0}$$でなければならない。けっきょく
$${{{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( \mu \right)={{\chi }_{\sigma }}{{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)\subset {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{s}} \right)}$$
となった。
$${\mathcal{D}\subset {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{a}} \right)}$$ であるから$${\left( \sum\limits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}\mathcal{D}} \right)\subset {{L}^{2}}\left( d{{\mu }_{a}} \right)}$$。また、$${span\left\{ {{z}^{n}}\Theta :n\ge 0 \right\}\subset \left( \sum\limits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}\mathcal{D}} \right)}$$はあきらかだが、これは等式である。なぜなら等式でないとして
$${f\in \left( \sum\limits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}\mathcal{D}} \right)\ominus span\left\{ {{z}^{n}}\Theta :n\ge 0 \right\}}$$
として$${f\equiv 0}$$を示せばよい。
つまり、$${f\bot {{z}^{n}}\Theta ,n\ge 0}$$。
他方$${\Theta \bot zE}$$であり$${f\in E}$$ より、$${{{z}^{n}}f\bot \Theta ,n\ge 1}$$ 。
この直交関係から
$${\int\limits_{\mathbb{T}}{f\overline{\Theta {{z}^{n}}}d\mu }=0,n\ge 0}$$
$${\int\limits_{\mathbb{T}}{f\overline{\Theta }{{z}^{n}}d\mu }=0,n\ge 1}$$
これは$${f\bar{\Theta }d\mu =0}$$を意味する。
$${f\in {{L}^{2}}\left( {{\mu }_{a}} \right)}$$であり$${\Theta \ne 0,m\,\,-a.e.}$$であったから、$${f\equiv 0}$$となる。
$${\left( \sum\limits_{n\ge 0}{{{z}^{n}}\mathcal{D}} \right)=span\left\{ {{z}^{n}}\Theta :n\ge 0 \right\}}$$
結局
$${=\left\{ \sum\limits_{n\ge 0}{{{a}_{n}}{{z}^{n}}\Theta :\sum\limits_{n\ge 0}{{{\left| {{a}_{n}} \right|}^{2}}<\infty }} \right\}=\Theta H^2}$$（$${{{\left\{ {{z}^{n}}\Theta \right\}}_{n\ge 0}}}$$ は正規直交基底になっている）となった。
最後に$${\Theta }$$ の一意性について調べておこう。$${{{\Theta }_{1}}{{H}^{2}}={{\Theta }_{2}}{{H}^{2}}}$$ とする。
$${{{\left| {{\Theta }_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Theta }_{2}} \right|}^{2}}=1}$$ であったから
$${{{\Theta }_{1}}{{\bar{\Theta }}_{2}}{{H}^{2}}={{H}^{2}}}$$,$${{{\Theta }_{2}}{{\bar{\Theta }}_{1}}{{H}^{2}}={{H}^{2}}}$$。
$${{{H}^{2}}\cap {{\bar{H}}^{2}}=\{const\}}$$
したがって$${{{\Theta }_{1}}{{\bar{\Theta }}_{2}}=\lambda \in \mathbb{C}}$$
すなわち、$${{{\Theta }_{1}}=\lambda {{\Theta }_{2}},\left| \lambda\right|=1}$$。
これは、絶対値１の定数倍を除いて一意という意味であった。