コーシーグリーンの公式

コーシーグリーンの公式
 
まずグリーンの定理から始める
 $${\bar{D}}$$がコンパクトとなること、すなわち$${D\subset \subset {{\mathbb{R}}^{2}}}$$を満たし、開連結でその境界$${\partial D}$$ が区分的になめらかで正の向きを持っている集合とする。$${D}$$ の閉包$${\bar{D}}$$ の近傍で定義されたなめらかな複素数値関数$${P}$$ と$${Q}$$ を考える。このとき、
 
グリーンGreen　の定理
 $${\oint_{\partial D}{Pdx+Qdy=\iint_{D}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA}}}$$
がなりたつ。

証明はおおくの教科書にある。ここで、$${dA}$$は面積測度で、$${D}$$ のパラメータ表示に依存する。今の場合$${dA=dxdy}$$であるが極座標だと
$${dA=rdrd\theta }$$ などとなる。
 
ウイルティンガーの 複素偏微分$${\frac{\partial }{\partial z}}$$, $${\frac{\partial }{\partial \bar{z}}}$$を
$${\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y} \right)}$$
$${\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y} \right)}$$
により定義する。この記号をつかうと
$${\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0}$$$${\Leftrightarrow }$$$${f}$$ が正則（コーシーリーマンの関係式を満たしている）
が言える。
実際、
$${\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial \left( u+iv \right)}{\partial x}+i\frac{\partial \left( u+iv \right)}{\partial y} \right)}$$$${=\frac{1}{2}\left( \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right)+i\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right) \right)}$$
より、
$${\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0}$$$${\Leftrightarrow }$$$${\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}}$$かつ$${\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}$$
  
つぎのコーシーグリーンの公式がなりたつ
 
定理：$${D\subset \subset \mathbb{C}}$$を開連結、境界$${\partial D}$$ が区分的になめらかな集合とする。$${f:\bar{D}\to \mathbb{C}}$$ を$${{{C}^{1}}}$$関数とする。このとき、すべての$${z\in D}$$ に対して
 $${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta }$$$${-\frac{1}{\pi }\iint_{D}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$
 が成り立つ。
 
証明）$${z\in D}$$ を固定する。$${\mathbb{D}\left( z,\varepsilon \right)=\left\{ a\in \mathbb{C}:\left| a-z \right|<\varepsilon \right\}\subset \subset D}$$となる
$${\varepsilon >0}$$をとる。
$${P=\frac{1}{2\pi i}\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}$$ , $${Q=iP}$$,$${{{D}_{\varepsilon }}=D-\mathbb{D}\left( z,\varepsilon \right)}$$
として上のグリーンの定理の$${D}$$のかわりに$${{{D}_{\varepsilon }}}$$ として適用する。
$${\zeta =x+iy}$$とおき、$${\zeta \in }$$ $${{{\mathbb{C}}_{{}}}}$$と$${\left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}}$$という同一視をすると
$${d\zeta =dx+idy}$$,
$${P\left( x,y \right)=P\left( \zeta \right)=\frac{1}{2\pi i}\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}$$,
$${Q\left( x,y \right)=Q\left( \zeta \right)=iP\left( \zeta \right)}$$$${=\frac{1}{2\pi }\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}$$
となるので
$${Pdx+Qdy=}$$$${\frac{1}{2\pi i}\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}d\zeta }$$

$${\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y} \right)\frac{f}{\pi \left( \zeta -z \right)}=\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{1}{\pi \left( \zeta -z \right)}+f\frac{\partial }{\partial \bar{\zeta }}\left( \frac{1}{\pi \left( \zeta -z \right)} \right)}$$

しかし$${z\notin {{D}_{\varepsilon _{{}}^{{}}}}}$$$${\zeta \in {{D}_{\varepsilon }}}$$ においては $${\frac{\partial }{\partial \bar{\zeta }}\left( \frac{1}{\zeta -z} \right)=0}$$であるので、結局
$${\oint_{\partial {{D}_{\varepsilon }}}{Pdx+Qdy=\iint_{{{D}_{\varepsilon }}}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA}}}$$
は
$${\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial {{D}_{\varepsilon }}}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta }$$$${=\frac{1}{\pi }\iint_{{{D}_{\varepsilon }}}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$
となる。$${\varepsilon \to 0}$$のとき
$${\frac{1}{\pi }\iint_{{{D}_{\varepsilon }}}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$$${\to \frac{1}{\pi }\iint_{D}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$
である。なぜなら、$${\zeta =z+r{{e}^{i\theta }}}$$ $${dA=rdrd\theta }$$であるから、
$${\frac{dA}{\zeta -z}=\frac{rdrd\theta }{r{{e}^{i\theta }}}}$$と書き直してみると、 $${\varepsilon \approx 0}$$（すなわち、$${r\approx 0}$$） のところで被積分関数は有界であることからわかる。つぎに左辺を見よう。
$${{{D}_{\varepsilon }}=D-\mathbb{D}\left( z,\varepsilon \right)}$$であったから
$${\int\limits_{\partial {{D}_{\varepsilon }}}{{}}=\int\limits_{\partial D}{{}}-\int\limits_{\partial \mathbb{D}}{{}}}$$とすると
$${\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial {{D}_{\varepsilon }}}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta -\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial \mathbb{D}\left( z,\varepsilon \right)}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta }$$
となる。$${\zeta =z+\varepsilon {{e}^{i\theta }}}$$ という変数変換をして
$${\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial \mathbb{D}\left( z,\varepsilon \right)}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta =\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{f\left( z+\varepsilon {{e}^{i\theta }} \right)i\varepsilon {{e}^{i\theta }}d\theta }{\varepsilon {{e}^{i\theta }}}}}$$$${=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( z+\varepsilon {{e}^{i\theta }} \right)d\theta }\to f\left( z \right)}$$
（$${\varepsilon \to 0}$$のとき）。したがって、
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}{\frac{f\left( \zeta \right)d\zeta }{\zeta -z}}-\frac{1}{\pi }\iint_{D}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$
がえられた。
 
この定理の特別な場合として、コーシーの積分公式、コーシーの定理が得られる。
 
定理$${D\subset \subset \mathbb{C}}$$ を開連結、境界$${\partial D}$$ が区分的になめらかな集合とする。$${f}$$ を$${\bar{D}}$$ の近傍で正則(holomorphic)とする。このとき次がなりたつ。
（コーシーの積分公式）$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}d\zeta }}$$
（コーシーの定理）$${\int\limits_{\partial D}{f\left( z \right)dz}=0}$$
 
最初の式はコーシーグリーンの定理
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}{\frac{f\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta }$$$${-\frac{1}{\pi }\iint_{D}{\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}\frac{dA}{\zeta -z}}}$$
で$${\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}=0}$$となることからわかる。第2の式は、$${\bar{D}}$$の近傍で正則な関数
$${g\left( \zeta \right)=\left( z-\zeta \right)f\left( \zeta \right)}$$に第１の式を適用すると
$${g\left( z \right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}{\frac{g\left( \zeta \right)}{\zeta -z}}d\zeta }$$
となるが、$${g\left( z \right)=0}$$であるから、これを書き直すと $${0=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}{f\left( \zeta \right)d\zeta}}$$となっているのでOK。