正値定符号と非負値定符号について

正値定符号と非負値定符号について
 
実対称行列の2次形式を考える。すなわち、$${n}$$ 次正方行列$${A=\left( {{a}_{ij}} \right)}$$ で$${{{a}_{ji}}={{a}_{ij}}}$$をみたすものと

$${\vec{X}= \left( \begin{matrix}{{x}_{1}} \\\vdots \\{{x}_{n}} \\\end{matrix} \right)}$$があるとき、内積を使って$${\left( A\vec{X},\vec{X} \right)={{\vec{X}}^{t}}A\vec{X}}$$とかけるものを$${A}$$ の２次形式とよぶ。$${A=\left( {{a}_{ij}} \right)}$$は任意の実ベクトル$${\vec{X}\ne 0}$$ に対して、$${\left( A\vec{X},\vec{X} \right)>0}$$をみたすとき、正値定符号positive -definite、任意の$${\vec{X}}$$に対して$${\left( A\vec{X},\vec{X} \right)\ge 0}$$をみたすとき、非負値定符号nonneative-definite と呼ばれる。それぞれ、$${A>0}$$、$${A\ge 0}$$ という記号であらわす。
 
注意：「$${A\ge 0}$$」 は「$${A>0}$$または$${A=0}$$ 」という意味ではない。したがって「$${A\ge 0}$$」かつ「$${A\ngtr 0}$$」 かつ「$${A\ne 0}$$」 という場合がおきる。「$${A\ngtr 0}$$」 かつ「$${A\ngeqslant 0}$$」 という場合も起きる（この場合、不定符号といわれる）。

またつぎのことに注意しておく。
[1] $${A}$$ の固有値を$${{{\lambda }_{1}},\cdots ,{{\lambda }_{n}}}$$とするとこれらは実数で$${\det A=\prod\nolimits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}}$$をみたす。
$${A>0\Rightarrow \det A>0}$$
[2] $${\vec{x}}$$を$${k}$$次ベクトル、$${\vec{X}}$$ を$${n}$$次ベクトルで、$${\vec{X}=\left( \begin{matrix}{\vec{x}} \\{\vec{0}} \\\end{matrix} \right)}$$とすると
$${\left( A\vec{X},\vec{X} \right)=\left( {{A}^{\left( k \right)}}\vec{x},\vec{x} \right)}$$
ただしここで、$${1\le k\le n}$$について、$${A=\left( \begin{matrix}{{A}^{\left( k \right)}} & * \\* & * \\\end{matrix} \right)}$$として、$${{{A}^{\left( k \right)}}}$$ を$${k}$$ 次主対角部分行列とおいている。

定理　$${A}$$ を$${n}$$次実対称行列とする。このとき、
 $${A>0}$$$${\Leftrightarrow }$$$${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$ が$${1\le k\le n}$$ でなりたつ

証明）（必要条件）
[2]より、
$${A>0}$$$${\Rightarrow }$$$${{{A}^{\left( k \right)}}>0}$$,$${k=1,2,\cdots ,n}$$
[1]より
$${{{A}^{\left( k \right)}}>0}$$ ,$${k=1,2,\cdots ,n}$$ $${\Rightarrow }$$$${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$ ,$${k=1,2,\cdots ,n}$$
（十分条件）
$${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$ ,$${k=1,2,\cdots ,n}$$$${\Rightarrow }$$$${A>0}$$をしめしたい。
$${n}$$についての帰納法をつかう。
$${n=1}$$ のときは自明.。$${n-1}$$ 次まで成立と仮定する。すなわち$${{{A}^{\left( n-1 \right)}}>0}$$でかつ$${\det A=\prod\nolimits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}>0}$$を仮定する。このとき、$${A}$$ が正値定符号でないとすれば、２つの固有値$${\lambda ,\mu <0}$$と固有ベクトル$${\vec{X},\vec{Y}}$$ がとれて、
$${A\vec{X}=\lambda \bar{X}}$$ , $${A\vec{Y}=\mu \vec{Y}}$$,
$${\left\| {\vec{X}} \right\|=\left\| {\vec{Y}} \right\|=1}$$, $${\vec{X}\bot \vec{Y}}$$となっている。
ここでさらに、同時に０でない$${a,b}$$ がとれて、$${a\vec{X}+b\vec{Y}=\vec{Z}=\left( \begin{matrix}{\vec{z}} \\0 \\\end{matrix} \right)}$$
とできる。$${\vec{z}}$$は$${n-1}$$次ベクトル。
帰納法の仮定$${{{A}^{\left( n-1 \right)}}>0}$$から
$${0<\left( {{A}^{\left( n-1 \right)}}\vec{z},\bar{z} \right)}$$
[2]より$${\left( {{A}^{\left( n-1 \right)}}\vec{z},\bar{z} \right)=\left( A\vec{Z},\vec{Z} \right)}$$。
そして、
$${\left( A\vec{Z},\vec{Z} \right)=\left( A(a\vec{X}+b\vec{Y}),a\vec{X}+b\vec{Y} \right)=\left( \lambda a\vec{X}+\mu b\vec{Y},a\vec{X}+b\vec{Y} \right)=}$$$${\lambda {{a}^{2}}+\mu {{b}^{2}}}$$
つまり、
$${0<\left( {{A}^{\left( n-1 \right)}}\vec{z},\bar{z} \right)}$$$${=\left( A\vec{Z},\vec{Z} \right)=\lambda {{a}^{2}}+\mu {{b}^{2}}<0}$$
という矛盾が生じてしまった。証明おわり。
 

系１．$${A}$$を$${n}$$次実対称行列とする。次が成り立つ。
$${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$が$${1\le k\le n-1}$$でありかつ$${\det A=0}$$$${\Rightarrow}$$ $${A}$$は非負値定符号であるが正値定符号ではない。

 証明）
 $${{{A}_{\varepsilon }}=\left( \begin{matrix}{{A}^{\left( k \right)}} & * \\* & {{a}_{nn}}+\varepsilon \\\end{matrix} \right)}$$　
：$${A}$$ の$${\left( n,n \right)}$$ 成分だけ$${{{a}_{nn}}+\varepsilon }$$ に変えたものとする。
$${\det {{A}_{\varepsilon }}=\det A+\varepsilon \det {{A}^{\left( n-1 \right)}}=\varepsilon \det {{A}^{\left( n-1 \right)}}}$$
あきらかに、$${A_{\varepsilon }^{\left( k \right)}={{A}^{\left( k \right)}}}$$ , $${1\le k\le n-1}$$
よって
$${\forall \varepsilon >0}$$, $${\det A_{\varepsilon }^{\left( k \right)}>0}$$,$${k=1,2,\cdots ,n}$$.
定理より$${{{A}_{\varepsilon }}}$$は正値定符号。
したがって、$${\left( {{A}_{\varepsilon }}\vec{X},\vec{X} \right)>0}$$。他方　
$${\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{A}_{\varepsilon }}\vec{X},\vec{X} \right)=\left( A\vec{X},\vec{X} \right)\ge 0}$$
ゆえに$${A}$$ は非負値定符号、しかし、$${\det A=0}$$ であるから正値定符号ではない。
 

系２．$${A\ne 0}$$ を$${n}$$ 次実対称行列とする。
$${A}$$は非負値定符号であるが正値定符号ではないとする。つぎが成り立つ。
ある$${m}$$( $${1\le m\le n}$$ )が存在して、
a) $${1\le k\le m-1}$$なるすべての$${k}$$で
   $${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$
b) $${m\le k\le n}$$なるすべての$${k}$$で
   $${\det {{A}^{\left( k \right)}}=0}$$

注意）(a)が空集合の場合がある。
例：$${A=\left(\begin{matrix}0 & 0 \\0 & 1 \\\end{matrix} \right)}$$。
この逆は$${m=n-1}$$のときのみ真である（系１）。一般には逆は必ずしも真ではない。
 
証明）$${A}$$は非負値正定符号であるから[2]を参照すれば、$${{{A}^{\left( k \right)}}}$$も非負値正定符号である。したがって、$${\det {{A}^{\left( k \right)}}\ge 0}$$, （$${k=1,2,\cdots ,n}$$）である。しかし、$${\det {{A}^{\left( k \right)}}>0}$$（$${k=1,2,\cdots ,n}$$）であるなら、$${A}$$は正値定符号となり、仮定に反する。よって、ある$${m}$$( $${1\le m\le n}$$ )が存在して、$${\det {{A}^{\left( k \right)}}=0}$$となる。このような$${m}$$の最小のものをあらためて$${m}$$ とおく、$${\det {{A}^{\left( m \right)}}=0}$$$${\Rightarrow }$$$${\det {{A}^{\left( m+1 \right)}}=0}$$を示す。
$${\det {{A}^{\left( m \right)}}=0}$$より$${{{A}^{\left( m \right)}}}$$の固有値の一つは０である。したがって、$${\left\| {\vec{x}} \right\|=1}$$なる$${m}$$ 次のベクトル$${\vec{x}}$$ で$${{{A}^{\left( m \right)}}\vec{x}=0}$$となる。$${m+1}$$次ベクトル$${\vec{y}=\left( \begin{matrix}{\vec{x}} \\0 \\\end{matrix} \right)}$$をとれば、$${\left( {{A}^{\left( m+1 \right)}}\vec{y},\vec{y} \right)=\left( {{A}^{\left( m \right)}}\vec{x},\vec{x} \right)}$$であるから$${\left( {{A}^{\left( m+1 \right)}}\vec{y},\vec{y} \right)=0}$$。したがって$${\underset{\left\| {\vec{z}} \right\|=1}{\mathop{Min}}\,\left( {{A}^{\left( m+1 \right)}}\vec{z},\vec{z} \right)=0}$$。ゆえに$${{{A}^{\left( m+1 \right)}}}$$ の最小固有値は０である。したがって、$${\det {{A}^{\left( m+1 \right)}}=0}$$。証明おわり