Hahn-Banachの拡張定理

Hahn-Banachの拡張定理
 
この定理は部分空間で定義された線形汎関数の定義域を全空間へ拡張することを保証するもので、証明にZornの補題（選択公理）を用いる。HahnとBanachが独立に証明した。線形空間$${X}$$ の真部分空間$${M}$$ を考える。すなわち、$${X\supset M}$$ で$${X\ne M}$$ とする。$${f}$$ が$${M}$$ 上で定義された汎関数のとき、$${X}$$上で定義される汎関数$${g}$$ が$${f}$$ の拡張であるとは、すべての$${x\in M}$$ について$${f\left( x \right)=g\left( x \right)}$$となることである。ただし、拡張をするだけなら簡単でたとえば　$${x\in M}$$について$${f\left( x \right)=g\left( x \right)}$$として、$${x\notin M}$$ では$${g\left( x \right)=0}$$としてもよいわけだが、これでは一般に$${f}$$ は線形性を持たなくなる。拡張$${g}$$ に線形性を持たせるようにすることはそれほど自明なことではない。Hahn-Banachの拡張定理には実数$${\mathbb{R}}$$ の線形空間$${X}$$に対するものと複素数$${\mathbb{C}}$$ の線形空間$${X}$$ に対するものがある。まず実数の線形空間に対するものについてのべる。
 

定理１（Hahn-Banach）
$${X}$$を実線形空間、$${M}$$ を$${X}$$ の真部分空間とする。
$${p:X\to \mathbb{R}}$$が次の性質を持つものとする。
(a) $${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$ , $${\forall x,y\in X}$$
(b) $${p\left( \alpha x \right)=\alpha p\left( x \right)}$$ , $${\forall \alpha \in \mathbb{R}}$$,$${\forall x\in X}$$
いま　$${f}$$ を$${M}$$上で定義された実線形汎関数で、
$${f\left( x \right)\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in M}$$
とするとき、
$${g\left( x \right)\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in X}$$
を満足する$${f}$$の$${X}$$ への拡張$${g}$$ が存在する。

証明）$${z\in X\backslash M}$$ , $${x,y\in M}$$ とする。仮定より、
$${f\left( x \right)-f\left( y \right)=f\left( x-y \right)\le p\left( x-y \right)\le p\left( x+z \right)+p\left( -y-z \right)}$$
両端の不等式を書き直すと
$${-p\left( -y-z \right)-f\left( y \right)\le p\left( x+z \right)-f\left( x \right)}$$
したがって、
$${s=\underset{y\in M}{\mathop{\sup }}\,\left\{ -p\left( -y-z \right)-f\left( y \right) \right\}\le p\left( x+z \right)-f\left( x \right)}$$
となり、また、
$${s\le \underset{x\in M}{\mathop{\inf }}\,\left\{ p\left( x+z \right)-f\left( x \right) \right\}}$$
となる。結局ある$${t}$$ が存在して、すべての$${y\in M}$$ に対して
$${-p\left( -y-z \right)-f\left( y \right)\le t\le p\left( y+z \right)-f\left( y \right)}$$
となる。部分空間$${{{M}_{z}}=\left\{ x+\alpha z:\alpha \in \mathbb{R} \right\}}$$を考える。そして、$${h\left( x+\alpha z \right)=f\left( x \right)+\alpha t}$$とおくと$${h}$$ は$${{{M}_{z}}}$$上の線形汎関数で、$${f}$$ を$${M}$$ から$${{{M}_{z}}}$$ へ拡張したものになる。
ただし、$${h\left( w \right)\le p\left( w \right),w\in {{M}_{z}}}$$をいわなくてはいけない。
$${-p\left( -y-z \right)-f\left( y \right)\le t\le p\left( y+z \right)-f\left( y \right)}$$
において、$${y=\frac{x}{\alpha }}$$ とすれば
$${-p\left( -\frac{x}{\alpha }-z \right)-f\left( \frac{x}{\alpha } \right)\le t\le p\left( \frac{x}{\alpha }+z \right)-f\left( \frac{x}{\alpha } \right)}$$
$${\alpha >0}$$のとき右側の不等式から
$${\alpha t\le p\left( x+\alpha z \right)-f\left( x \right)}$$
$${\alpha <0}$$ のとき左側の不等式から
$${\alpha t\le p\left( x+\alpha z \right)-f\left( x \right)}$$
いずれにせよ
$${h\left( w \right)\le p\left( w \right),w\in {{M}_{z}}}$$
がいえている。$${{{M}_{z}}=X}$$ならこれで終了だが、$${{{M}_{z}}\ne X}$$の場合、$${{{M}_{z}}}$$から始めてうえのプロセスを繰り返していく。そうして$${X}$$ に到達すれば終了である。しかし、終了するのであろうか？ここで、Zornの補題を使う。
$${M}$$を含む部分空間を$${M'}$$とし$${f}$$ の$${M'}$$への拡張を$${h'}$$ とする（$${M'}$$上で$${h'\le p}$$ ）。集合$${P}$$をそのような$${\left( M',h' \right)}$$全体とする。$${P}$$に半順序$${\prec }$$ を定義する。すなわち、
$${\left( M',h' \right)\prec \left( M'',h'' \right)}$$ $${\Leftrightarrow }$$$${M'\subset M''}$$かつ$${M'}$$ の上で$${h'=h''}$$。
$${P}$$の部分集合で、全順序となるものをインデックス$${a}$$ をつけて$${S=\left\{ \left( {{M}_{a}},{{h}_{a}} \right) \right\}}$$ と表す。$${S}$$ には上界$${\left( \bigcup\nolimits_{a}{{{M}_{a}}},H \right)}$$がある。ただし、$${x\in {{M}_{a}}}$$のとき、$${H\left( x \right)={{h}_{a}}\left( x \right)}$$ が 成立しているとする。以上の結果、Zornの補題から$${P}$$には最大元$${\left( {{M}_{\infty }},{{H}_{\infty }} \right)}$$ がある。このとき、$${{{M}_{\infty }}=X}$$ でなければならない。さもなければ最初に示した如く、$${\left( {{M}_{\infty }},{{h}_{\infty }} \right)\prec \left( {{M}_{\infty z}},{{h}_{\infty z}} \right)}$$なるように拡張できるから、$${\left( {{M}_{\infty }},{{H}_{\infty }} \right)}$$が最大元であることと矛盾してしまう。結局、$${{{M}_{\infty }}=X}$$ で$${g={{H}_{\infty }}}$$としてやれば証明はおわる。
 
Hahn-Banach複素数のバージョンはBohnenblust,Sobczyk,Soukhomlinoffたちによって示された。

定理２　$${X}$$を複素線形空間、$${M}$$を$${X}$$の真部分空間とする。
$${p:X\to \mathbb{R}}$$が次の性質を持つものとする。
(a) $${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$ , $${\forall x,y\in X}$$
(b) $${p\left( \lambda x \right)=\left| \lambda \right|p\left( x \right)}$$ , $${\forall \lambda \in \mathbb{C}}$$ ,$${\forall x\in X}$$
(c) $${p\left( x \right)\ge 0}$$,$${\forall x\in X}$$
いま　$${f}$$を$${M}$$上で定義された複素数線形汎関数で、
$${\left| f\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in M}$$
とするとき、
$${\left| g\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in X}$$
を満足する$${f}$$の$${X}$$への拡張$${g}$$が存在する。

証明）$${f}$$を実数部分$${{{f}_{1}}}$$ と虚数部分$${{{f}_{2}}}$$に分け$${f={{f}_{1}}+i{{f}_{2}}}$$とすると、$${f\left( ix \right)=if\left( x \right)}$$より、$${{{f}_{1}}(ix)+i{{f}_{2}}\left( ix \right)=i{{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)}$$ であるから、$${x\in M}$$のとき$${{{f}_{2}}\left( x \right)=-{{f}_{1}}\left( ix \right)}$$ である。そして、$${{{f}_{1}}\left( x \right)\le \left| f\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$ より、定理１を$${{{f}_{1}}}$$ に適用して、$${{{f}_{1}}}$$の拡張$${{{g}_{1}}}$$を得て、$${{{g}_{1}}\left( x \right)\le p\left( x \right)}$$,$${x\in X}$$となっている。ここで、
$${g\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)-i{{g}_{1}}\left( ix \right)}$$とおいてやると$${g\left( ix \right)={{g}_{1}}\left( ix \right)-i{{g}_{1}}\left( -x \right)=ig\left( x \right)}$$となるので一般に$${g\left( \lambda x \right)=\lambda g\left( x \right),\lambda \in \mathbb{C}}$$を示すことができる。したがって$${g}$$は複素線形汎関数である。$${\left| g\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$を示せば証明は完結する。$${g\left( x \right)=0}$$のときは自明なので$${g\left( x \right)\ne 0}$$とする。$${\alpha =\arg g\left( x \right)}$$ とおくと、
$${\left| g\left( x \right) \right|={{e}^{-i\alpha }}g\left( x \right)=g\left( {{e}^{-i\alpha }}x \right)={{g}_{1}}\left( {{e}^{-i\alpha }}x \right)\le p\left( {{e}^{-i\alpha }}x \right)=p\left( x \right)}$$
ここで、$${g\left( {{e}^{-i\alpha }}x \right)}$$が実数値であることを用いた。証明終わり。
 
ここまで標準的なことを述べてきたが、Hahn-Bnachの応用としてWalter Rudin は著書Real and Complex Analysis、Tata　McGraw-Hill（1974）ｐ.115にAn abstract approach to the Poisson integralという項目を述べている。つまり、$${\mathbb{D}}$$を単位円盤、$${T}$$を円周、$${\bar{\mathbb{D}}=T\cup \mathbb{D}}$$を円周を含めた単位円盤とおくと。

Theorem 3 $${A}$$ を$${\bar{\mathbb{D}}}$$ で連続な複素数値関数のなすベクトル空間とする。$${A}$$ が多項式を含み　$${f\in A}$$ が$${\underset{z\in \bar{\mathbb{D}}}{\mathop{\sup }}\,\left| f\left( z \right) \right|=\underset{z\in T}{\mathop{\sup }}\,\left| f\left( z \right) \right|}$$をみたすとき、
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\frac{1-{{r}^{2}}}{1-2r\cos \left( \theta -t \right)+{{r}^{2}}}f\left( {{e}^{it}} \right)dt}}$$ ,
$${z={{e}^{i\theta }}}$$
のように表される。

この定理がどのようにしてHahn-Banachから導かれるのかはすぐにはわからないかもしれない。定理２で$${X=A}$$ 、$${M=T}$$とすると$${{{e}^{i\theta }}\in T}$$上で定義された関数$${f\left( {{e}^{i\theta }} \right)}$$ は$${\bar{\mathbb{D}}}$$上の関数$${f\left( z \right)}$$に拡張され、$${\underset{z\in \bar{\mathbb{D}}}{\mathop{\sup }}\,\left| f\left( z \right) \right|=\underset{z\in T}{\mathop{\sup }}\,\left| f\left( z \right) \right|}$$の条件は
$${\left| f\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in M}$$
$${\left| g\left( x \right) \right|\le p\left( x \right)}$$$${\forall x\in X}$$
を反映しており、$${p\left( x \right)=C{{\left\| x \right\|}_{\infty }}}$$とおいてやれば、定理３の場合はノルムを変えない拡張になっていることを示す。