幾何学的関数論へのいりぐち

 
幾何学的関数論　Mcmullen先生の　lectureより
 
1)領域のいろいろ：
$${\mathbb{C}=\left\{ z=x+iy,x,y\in \mathbb{R} \right\}}$$（複素）平面
$${\Delta =\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|<1 \right\}}$$ 開単位円盤
$${\mathbb{H}=\left\{ z:\operatorname{Im}z>0 \right\}}$$上半平面
$${\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}}$$
上の例を総称して、連結開集合を$${U\subset \mathbb{C}}$$ であらわす。
$${U}$$ 上で定義された関数$${f:U\to \mathbb{C}}$$ が、すべての$${p\in U}$$において複素微分$${f'}$$を持つとき、$${f}$$ は正則holomorphicであるという。このとき、$${f',f'',\cdots }$$も存在する。
 
2)等角計量conformal metric
$${\left| dz \right|}$$は$${\mathbb{C}}$$ 上のユークリッド計量である。
$${\rho \left( z \right)\left| dz \right|}$$ は$${U}$$ 上のリーマン計量である。
すなわち、ユークリッド計量は$${\rho \left( z \right)=1}$$であるリーマン計量である。ここで、$${\rho }$$ は連続で、常に$${\rho \left( z \right)\ge 0}$$ である。$${\rho \left( z \right)=0}$$ なるとき$${z}$$ で特異という。$${\rho }$$は、曲線の長さ、曲面の面積などを計算するときに用いられる。
 
面積$${Area(U)={{\int\limits_{U}{{{\rho }^{2}}\left( z \right)\left| dz \right|}}^{2}}=\int\limits_{U}{{{\rho }^{2}}}dxdy}$$
曲線$${\gamma }$$ の長さ$${L\left( \gamma \right)=\int\limits_{a}^{b}{\rho \left( \gamma \left( t \right) \right)}\left| \gamma '\left( t \right) \right|dt}$$
ここで、曲線$${\gamma }$$は$${a\le t\le b}$$で定義され$${\gamma \left( t \right)\in U\subset \mathbb{C}}$$となる, なめらかな関数のことである。
 
上であげた領域には、次のように標準的な$${\rho }$$が与えられる。
 $${\mathbb{C}\Leftarrow \left| dz \right|}$$
$${\Delta \Leftarrow \frac{2\left| dz \right|}{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)}}$$
$${\mathbb{H}}$$$${\Leftarrow \frac{\left| dz \right|}{\operatorname{Im}z}}$$
$${\hat{\mathbb{C}}\Leftarrow \frac{2\left| dz \right|}{1+{{\left| z \right|}^{2}}}}$$
またガウス曲率$${K}$$を用いて幾何学的な構造をみることができる。
$${\mathbb{C}}$$ の曲率$${K=0}$$
$${\hat{\mathbb{C}}}$$（リーマン球面）の曲率$${K=1}$$
$${\Delta ,\mathbb{H}}$$ の曲率は$${K=-1}$$
$${K=0}$$はユークリッド幾何、$${K>0}$$ は楕円幾何、$${K<0}$$は双曲幾何になる。

 
自己同型、自分自身への全単射はメービウス変換で与えられる。
$${Aut\left( {\hat{\mathbb{C}}} \right)=\left\{ g\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}:ad-bc\ne 0 \right\}}$$

$${\frac{az+b}{cz+d}\leftrightarrow \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)}$$

なる対応による以下の同型がある。

$${Aut\left( {\hat{\mathbb{C}}} \right)\cong S{{L}_{2}}\mathbb{C}={\left\{ \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right):ad-bc=1 \right\}}/{\pm I}\;}$$

$${Aut\left( \mathbb{C} \right)=\left\{ g\left( z \right)=az+b \right\}}$$
$${Aut\left( \mathbb{H} \right)=\left\{ g\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}:ad-bc\ne 0,a,b,c,d\in \mathbb{R} \right\}\cong S{{L}_{2}}\mathbb{R}/\pm I}$$
$${Aut\left( \Delta \right)=\left\{ g\left( z \right)=\frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}:{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1 \right\}\cong \left\{ \left( \begin{matrix}a & b \\{\bar{b}} & {\bar{a}} \\\end{matrix} \right):{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1 \right\}}$$

３）異なる３点をとおる円が一意に決められる。
 
メービウス変換は円を円にうつす（ただし、直線は円の特別なものとみなす。）
$${f\left( z \right)=i\frac{1-z}{1+z}}$$ は
$${f:}$$$${1\leftrightarrow 0}$$,$${0\leftrightarrow i}$$, $${-1\leftrightarrow \infty }$$
という全単射$${\Delta \to \mathbb{H}}$$ をあたえる。
つまり、$${\Delta }$$ と$${\mathbb{H}}$$は同型$${\Delta \simeq \mathbb{H}}$$であり、位相空間として同一視できる。

 
４）$${Aut\left( \mathbb{C} \right)}$$ における等距離作用isometry：
$${Isom\left( \mathbb{C} \right)=\left\{ az+b:\left| a \right|=1 \right\}}$$
は$${Isom\left( \mathbb{C} \right)\subset Aut\left( \mathbb{C} \right)}$$という真部分集合であり、
半直積$${{{S}^{1}}\prec \mathbb{C}}$$である。

また、
$${SU\left( 2 \right)=\left\{ \left( \begin{matrix}a & b \\-\bar{b} & {\bar{a}} \\\end{matrix} \right):{{\left|a\right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1 \right\}\subset Aut\left( {\hat{\mathbb{C}}} \right)}$$
があり、$${SU\left( 2 \right)\simeq {{S}^{3}}}$$ である。

５）Schwartzのレンマ
$${f:\left( \Delta ,0 \right)\to \left( \Delta ,0 \right)}$$ を正則とする。
（$${f\left( 0 \right)=0}$$）
このとき、
$${\left| f\left( z \right) \right|\le \left| z \right|}$$ かつ$${\left| f'\left( 0 \right) \right|\le 1}$$が成り立つ。
また、$${z\ne 0}$$ に対して$${\left| f\left( z \right) \right|=\left| z \right|}$$あるいは、$${\left| f'\left( 0 \right) \right|=1}$$となるのは、
$${f\left( z \right)={{e}^{i\alpha }}z}$$,$${\alpha \in \mathbb{R}}$$
の場合に限る。
.証明）$${h\left( z \right)=\frac{f\left( z \right)}{z}}$$,$${z\ne 0}$$ ,$${=f'\left( 0 \right)}$$ , $${z=0}$$ とおく。（ワイエルストラスのトリック）。$${f\left( 0 \right)=0}$$の仮定から、テーラ展開は
$${f\left( z \right)={{a}_{1}}z+{{a}_{2}}{{z}^{2}}+\cdots =zh\left( z \right)}$$
（$${h\left( z \right)={{a}_{1}}+{{a}_{2}}z+\cdots }$$ は正則）となる。
最大値の原理より
$${\left| h\left( z \right) \right|\le 1}$$ となる。（なぜなら$${z\in {{S}_{r}},r<1}$$で$${\left| h\left( z \right) \right|=\left| \frac{f\left( z \right)}{z} \right|=\frac{\left| f\left( z \right) \right|}{r}\le \frac{1}{r}}$$ において$${r\to 1}$$ とせよ）。これは、$${\left| f\left( z \right) \right|\le \left| z \right|}$$の言い換えである。$${\left| f'\left( 0 \right) \right|\le 1}$$も同様に示される。$${z\in \Delta }$$において$${\left| f\left( z \right) \right|=\left| z \right|}$$となることは$${z\in \Delta }$$において$${\left| h\left( z \right) \right|=1}$$とおなじことで、最大値の定理から$${h\left( z \right)}$$ は絶対値１の定数となる。すなわち、$${h\left( z \right)=\frac{f\left( z \right)}{z}={{e}^{i\alpha }}}$$より$${f\left( z \right)={{e}^{i\alpha }}z}$$となる。$${\left| f'\left( 0 \right) \right|=1}$${のときは}$${\left| h\left( 0 \right) \right|=\left| f'\left( 0 \right) \right|=1}$$となり、やはり最大値の原理から$${h\left( z \right)}$$ は絶対値１の定数となる。
証明おわり
 
６）
$${Aut\left( \Delta \right)=\left\{ g\left( z \right)=\frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}:{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1 \right\}\cong \left\{ \left( \begin{matrix}a & b \\{\bar{b}} & {\bar{a}} \\\end{matrix} \right):{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1 \right\}}$$

はSchwartzのレンマを利用して証明できる。
 
7) ６）を証明しよう。
原点を保存$${0\leftrightarrow 0}$$の場合 $${Aut\left( \Delta ,0 \right)}$$ と書くと、
Schwartzのレンマは
$${f\in Aut\left( \Delta ,0 \right)\Rightarrow \left| f\left( z \right) \right|\le \left| z \right|,\left| f'\left( 0 \right) \right|\le 1}$$
ここで、不等式が等式で成り立つとき$${f\left( z \right)={{e}^{i\alpha }}z}$$ となる。
 証明したいことは、
$${F\in Aut\left( \Delta \right)}$$$${\Rightarrow F\left( z \right)=\frac{az+b}{\bar{b}+\bar{a}z}}$$ ,$${{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1}$$
である。
補助的に、$${\beta \in \mathbb{C}}$$,$${\left| \beta \right|<1}$$ として
$${{{\varphi }_{\beta }}\left( z \right)=\frac{z-\beta }{1-\bar{\beta }z}\in Aut\left( \Delta \right)}$$
をとる。$${{{\varphi }_{\beta }}\left( \beta \right)=0}$$ であること、
$${\left( \begin{matrix}1 & -\beta \\-\bar{\beta } & 1 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}1 & \beta \\{\bar{\beta }} & 1 \\\end{matrix} \right)=\left( 1-{{\left| \beta \right|}^{2}} \right)I}$$
より、$${{{\varphi }_{\beta }}\left( z \right)}$$の逆関数は$${\varphi _{\beta }^{-1}\left( z \right)={{\varphi }_{-\beta }}\left( z \right)}$$がわかる。
いま、$${F\left( 0 \right)=\beta }$$とする。
$${G\left( z \right)={{\varphi }_{\beta }}\circ F\left( z \right)}$$ とおくと$${G\in Aut\left( \Delta ,0 \right)}$$ である。実際、$${\left| G \right|=\left| {{\varphi }_{\beta }}\circ F \right|\le 1}$$ であり、
$${G\left( 0 \right)={{\varphi }_{\beta }}\circ F\left( 0 \right)={{\varphi }_{\beta }}\left( \beta \right)=0}$$である。したがって、Schwartzのレンマより、
$${\left| G'\left( 0 \right) \right|\le 1}$$
ところが、$${G}$$の逆関数は
$${{{G}^{-1}}\left( z \right)={{\left( {{\varphi }_{\beta }}\circ F \right)}^{-1}}\left( z \right)={{F}^{-1}}\circ {{\varphi }_{-\beta }}\left( z \right)}$$
となり、$${{{\varphi }_{-\beta }}\left( 0 \right)=\beta }$$となるので、
$${{{G}^{-1}}\left( 0 \right)={{F}^{-1}}\left( \beta \right)=0}$$。ゆえに、$${{{G}^{-1}}\in Aut\left( \Delta ,0 \right)}$$である。ふたたびSchwartzのレンマより
$${\left| {{\left( {{G}^{-1}} \right)}^{'}}\left( 0 \right) \right|=\left| \frac{1}{G'\left( 0 \right)} \right|\le 1}$$
となり、上のことと併せて結局$${\left| G'\left( 0 \right) \right|=1}$$。またさらに再びSchwartzのレンマを用いて$${G\left( z \right)={{e}^{ia}}z}$$がわかる。したがって、$${G\left( z \right)={{\varphi }_{\beta }}\circ F\left( z \right)={{e}^{i\alpha }}z}$$となる$${\alpha \in \mathbb{R}}$$ が存在する。すなわち、$${F\left( z \right)={{\varphi }_{-\beta }}\left( {{e}^{i\alpha }}z \right)=\frac{{{e}^{i\alpha }}z+\beta }{1+\bar{\beta }{{e}^{i\alpha }}z}}$$ となった。ここで、$${{{e}^{i\alpha }}=\frac{a}{{\bar{a}}}}$$ , $${\beta =\frac{b}{{\bar{a}}}}$$ とおくと、$${F\left( z \right)=\frac{az+b}{\bar{b}+\bar{a}z}}$$となる。また、$${{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}={{\left| a \right|}^{2}}\left( 1-{{\left| \beta \right|}^{2}} \right)=1}$$となるように$${a\in \Delta }$$ とすれば、$${{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}=1}$$の条件も満たされる。
証明終わり）