50%コーシー列は100%収束する

50%コーシー列は100%収束する
 
$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=1}^{{{\infty }^{{}}}}}$$を有界な実数列とする。
任意の$${\varepsilon >0}$$に対し、ある自然数$${N=N\left( \varepsilon \right)}$$ があり、
$${n>m>N}$$ である限り$${{{a}_{n}}-{{a}_{m}}<\varepsilon }$$ とする。
このとき$${\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=1}^{{{\infty }^{{}}}}}$$は収束列である。
証明）
$${\alpha =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,{{a}_{n}}}$$ , $${\beta =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,{{a}_{n}}}$$
とおく。
数列の有界性より$${d=\alpha -\beta \ge 0}$$ は有限値である。
$${\alpha \ne \beta }$$ と仮定して矛盾をだせば証明はおわる。$${d>0}$$ と仮定する。
上極限の定義より、$${\left| {{a}_{{{n}_{0}}}}-\alpha \right|<\frac{d}{3}}$$ となる$${{{n}_{0}}>N}$$が存在する。
下極限の定義より $${\left| {{a}_{{{m}_{0}}}}-\beta \right|<\frac{d}{3}}$$ となる
$${{{m}_{0}}>{{n}_{0}}}$$ が存在する。

$${\left| {{a}_{{{n}_{0}}}}-\alpha \right|<\frac{d}{3}}$$$${\Rightarrow \alpha -\frac{d}{3}<{{a}_{{{n}_{0}}}}}$$

$${\left| {{a}_{{{m}_{0}}}}-\beta \right|<\frac{d}{3}}$$$${\Rightarrow -\beta -\frac{d}{3}<-{{a}_{{{m}_{0}}}}}$$

これらを加え合わせれば
 
$${\frac{d}{3}=\alpha -\beta -\frac{2d}{3}<{{a}_{{{n}_{0}}}}-{{a}_{{{m}_{0}}}}}$$
これは$${\varepsilon =\frac{d}{3}}$$とおくと
「$${n>m>N}$$ である限り$${{{a}_{n}}-{{a}_{m}}<\varepsilon }$$」
に矛盾している。

考察）
仮定を $${n,m>N\left( \varepsilon \right)}$$であるかぎり
$${{{a}_{n}}-{{a}_{m}}<\varepsilon }$$ とすると、
$${{{a}_{m}}-{{a}_{n}}<\varepsilon }$$もなりたつ必要があるので
$${n,m>N\left( \varepsilon \right)}$$であるかぎり$${\left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} \right|<\varepsilon }$$という
普通の条件になってしまう。