Riesz-Thorin の定理の証明

Riesz-Thorin の定理の証明
 
 
Riesz-Thorinの定理はRiesz　の凸型定理とも呼ばれている。
 定理の証明には、複素関数論が用いられており、関数解析の定理に見事に融合した例であると思う。

Riesz-Thorinの内挿定理
$${1\le {{p}_{0}},{{p}_{1}},{{q}_{0}},{{q}_{1}}\le \infty }$$とする。$${0<\theta <1}$$ にたいして、
$${\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{{{p}_{0}}}+\frac{\theta }{{{p}_{1}}}}$$ , $${\frac{1}{q}=\frac{1-\theta }{{{q}_{0}}}+\frac{\theta }{{{q}_{1}}}}$$
により、$${p,q}$$を定義する。
線形作用素$${T}$$を　　$${T:{{L}^{{{p}_{0}}}}+{{L}^{{{p}_{1}}}}\to {{L}^{{{q}_{0}}}}+{{L}^{{{q}_{1}}}}}$$ で、
$${f\in {{L}^{{{p}_{0}}}}}$$ に対して　　$${{{\left\| Tf \right\|}_{{{q}_{0}}}}\le {{M}_{0}}{{\left\| f \right\|}_{{{p}_{0}}}}}$$
かつ
$${f\in {{L}^{{{p}_{1}}}}}$$に対して　　　$${{{\left\| Tf \right\|}_{{{q}_{1}}}}\le {{M}_{1}}{{\left\| f \right\|}_{{{p}_{1}}}}}$$
を満たすと仮定する。このとき、
$${f\in {{L}^{p}}}$$に対して　　　
$${{{\left\| Tf \right\|}_{q}}\le M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }{{\left\| f \right\|}_{p}}}$$
が成立する。
 

 
複素関数論の3線定理（Hadamard あるいはDoetschの３線定理）は、最大値原理の有界でない領域における場合への拡張であるPhrägmen-Linelöff の定理のひとつである。
 

帯状領域$${S=\left\{ x+iy=z\in \mathbb{C}:0\le x\le 1 \right\}}$$ の上で定義された有界で連続な複素数値関数$${F}$$ が$${S}$$の内部で解析的であるとする。もし、すべての$${y}$$で、
$${\left| F\left( iy \right) \right|\le {{m}_{0}}}$$ でかつ、
$${\left| F\left( 1+iy \right) \right|\le {{m}_{1}}}$$
を満たすと仮定する。このとき、
$${z=x+iy\in S}$$に対して、
$${\left| F\left( x+iy \right) \right|\le m_{0}^{1-x}m_{1}^{x}}$$
が成り立つ。
いいかえれば、
$${L\left( x \right)=\sup \left\{ \left| F\left( x+iy \right) \right|:-\infty < y < \infty \right\}}$$とおくと、$${\log L\left( x \right)}$$が$${x\in \left[ 0,1 \right]}$$ で凸関数になっている。

 
証明）$${F\left( z \right)/m_{0}^{1-z}m_{1}^{z}}$$ をかんがえることにより、はじめから$${{{m}_{0}}=1={{m}_{1}}}$$としておく。つまり、$${\left| F\left( iy \right) \right|\le 1}$$,　$${\left| F\left( 1+iy \right) \right|\le 1}$$のとき、すべての$${z\in S}$$で$${\left| F\left( z \right) \right|\le 1}$$ となることを示す。
$${0\le x\le 1}$$ において一様に$${\underset{\left| y \right|\to \infty }{\mathop{\lim }}\,F\left( x+iy \right)=0}$$が成り立つなら、最大値の原理をもちいることで結果が従う：すなわち、ある$${{{y}_{0}}>0}$$がとれて、$${\left| y \right|>{{y}_{0}}}$$ では、$${\left| F\left( x+iy \right) \right|\le 1}$$であり、$${i{{y}_{0}},1+i{{y}_{0}},1-i{{y}_{0}},-i{{y}_{0}}}$$ の４点を頂点とする四角形の境界で$${\left| F\left( z \right) \right|\le 1}$$ となるなら、その４角形の内部においても$${\left| F\left( z \right) \right|\le 1}$$。つまり、すべての$${z\in S}$$で$${\left| F\left( z \right) \right|\le 1}$$となる。実際、$${{{F}_{n}}\left( z \right)=F\left( z \right){{e}^{\left( {{z}^{2}}-1 \right)/n}}}$$ とおくと、$${F\left( z \right)}$$が$${S}$$で有界であったから
$${\left| {{F}_{n}}\left( z \right) \right|=\left| F\left( z \right) \right|{{e}^{-{{y}^{2}}/n}}{{e}^{\left( {{x}^{2}}-1 \right)/n}}\le M{{e}^{-{{y}^{2}}/n}}}$$。
したがって、$${\left| y \right|\to \infty }$$ のとき、$${S}$$ で一様に$${{{F}_{n}}\left( z \right)\to 0}$$ であり、$${\left| {{F}_{n}}\left( iy \right) \right|\le 1}$$,$${\left| {{F}_{n}}\left( 1+iy \right) \right|\le 1}$$である。
$${n\to \infty }$$ とすればすべての$${z\in S}$$で$${\left| F\left( z \right) \right|\le 1}$$
となることがわかる。
 
定理の証明：
記号
$${\alpha =\frac{1}{p}}$$, $${{{\alpha }_{0}}=\frac{1}{{{p}_{0}}}}$$, $${{{\alpha }_{1}}=\frac{1}{{{p}_{1}}}}$$, $${\beta =\frac{1}{q}}$$, $${{{\beta }_{0}}=\frac{1}{{{q}_{0}}}}$$, $${{{\beta }_{1}}=\frac{1}{{{q}_{1}}}}$$
$${\alpha \left( z \right)=\left( 1-z \right){{\alpha }_{0}}+z{{\alpha }_{1}}}$$$${\beta \left( z \right)=\left( 1-z \right){{\beta }_{0}}+z{{\beta }_{1}}}$$, $${z\in \mathbb{C}}$$
とおくと、
$${\alpha \left( \theta \right)=\left( 1-\theta \right)\frac{1}{{{p}_{0}}}+\theta \frac{1}{{{p}_{1}}}=\frac{1}{p}=\alpha }$$,
$${\beta \left( \theta \right)=\left( 1-\theta \right)\frac{1}{{{q}_{0}}}+\theta \frac{1}{{{q}_{1}}}=\frac{1}{q}=\beta }$$
となっている。

双対性より、$${{{\left\| Tf \right\|}_{q}}=\sup \left| \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( Tf \right)gdx} \right|}$$がsupを$${{{\left\| g \right\|}_{q'}}=1}$$ をとったものにより成り立つ。ただし、$${\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1}$$ 。したがって定理を示すには、
$${I=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( Tf \right)gdx}}$$として$${\left| I \right|\le M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }{{\left\| f \right\|}_{p}}}$$
をしめせばよい。例のごとく、$${f/{{\left\| f \right\|}_{p}}}$$を$${f}$$ のかわりに考えて
$${{{\left\| f \right\|}_{p}}=1}$$のとき、$${\left| I \right|=\left| \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( Tf \right)gdx} \right|}$$$${\le M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }}$$
を示せばよいことになる。まず、$${f=\sum\limits_{j=1}^{m}{{{a}_{j}}{{\chi }_{{{E}_{j}}}}}}$$, $${g=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{b}_{k}}{{\chi }_{{{F}_{k}}}}}}$$という特別な場合（simple functionとなっている場合）を証明する。ここで、$${{{E}_{1}},{{E}_{2}},\cdots {{E}_{m}}}$$および$${{{F}_{1}},{{F}_{2}},\cdots {{F}_{n}}}$$互いに排反な集合であり、
$${{{\mathbb{R}}^{n}}=\bigcup\limits_{j=1}^{m}{{{E}_{j}}=}\bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{F}_{k}}}}$$ としている。そして、$${{{\chi }_{E}}}$$ は集合$${E}$$上で１をとりその他ではぜろとなる集合$${E}$$ の定義関数である。一般の可測関数$${f,g}$$ の積分はこのようなsimple functionの積分でいくらでも近似できる（ルベッグ積分の定義！）ことをつかう。また、$${p<\infty }$$ , $${q>1}$$ の場合をあつかう。すなわち、$${\alpha >0}$$, $${\beta <1}$$ である。
$${{{a}_{j}}=\left| {{a}_{j}} \right|{{e}^{i{{\theta }_{j}}}}}$$ $${{{b}_{k}}=\left| {{b}_{k}} \right|{{e}^{i{{\varphi }_{k}}}}}$$ とおき、
$${{{f}_{z}}=\sum\limits_{j=1}^{m}{{{\left| {{a}_{j}} \right|}^{\alpha \left( z \right)/\alpha }}{{e}^{i{{\theta }_{j}}}}{{\chi }_{{{E}_{j}}}}}}$$,
$${{{g}_{z}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left| {{b}_{k}} \right|}^{(1-\beta \left( z \right))/(1-\beta) }}{{e}^{i{{\varphi }_{k}}}}{{\chi }_{{{F}_{k}}}}}}$$
と定義する。
$${F\left( z \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( T{{f}_{z}} \right){{g}_{z}}dx}}$$
は$${\mathbb{C}}$$全体で定義される解析関数で、$${F\left( \theta \right)=I}$$となっている。
実際$${{{f}_{\theta }}=f}$$ ,$${{{g}_{\theta }}=g}$$であるから、
$${F\left( \theta \right)=\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( Tf \right)gdx}=I}$$。そして、
$${F\left( z \right)=\sum\limits_{j,k=1}^{m,n}{{{\left| {{a}_{j}} \right|}^{\alpha \left( z \right)/\alpha }}}{{\left| {{b}_{k}} \right|}^{\left( 1-\beta \left( z \right) \right)/\left( 1-\beta \right)}}{{\gamma }_{j,k}}}$$,
$${{{\gamma }_{j,k}}={{e}^{i\left( {{\theta }_{j}}+{{\varphi }_{k}} \right)}}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left( T{{\chi }_{{{E}_{j}}}} \right)}{{\chi }_{{{F}_{k}}}}dx}$$ 
と書ける。あと示さなければならないことは、
$${F\left( iy \right)\le {{M}_{0}}}$$と$${F\left( 1+iy \right)\le {{M}_{1}}}$$
である。これを示すことができれば3線定理から結果が従う。
 
$${\alpha \left( iy \right)={{\alpha }_{0}}+iy\left( {{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{0}} \right)}$$ ,
$${1-\beta \left( iy \right)=\left( 1-{{\beta }_{0}} \right)-iy\left( {{\beta }_{1}}-{{\beta }_{0}} \right)}$$
であるから、
$${\operatorname{Re}(\alpha \left( iy \right))={{\alpha }_{0}}}$$、$${\operatorname{Re}\left( 1-\beta \left( iy \right) \right)=\left( 1-{{\beta }_{0}} \right)}$$
そして、
$${{{\alpha }_{0}}/\alpha =p}$$,$${{{\beta }_{0}}=1/{{q}_{0}}}$$,$${\beta =1/q}$$,$${\frac{1-{{\beta }_{0}}}{1-\beta }=\frac{q'}{q_{0}^{'}}}$$ ,
$${x\in {{E}_{i}}}$$において$${f={{a}_{j}}}$$であり、
$${{{f}_{iy}}={{\left| {{a}_{j}} \right|}^{\alpha \left( iy \right)/\alpha }}{{e}^{i{{\theta }_{j}}}}={{\left| f \right|}^{\alpha \left( iy \right)/\alpha }}{{e}^{i{{\theta }_{j}}}}}$$
すなわち、
$${{{\left| {{f}_{iy}}\left( x \right) \right|}^{{{p}_{0}}}}={{\left| f\left( x \right) \right|}^{{{\alpha }_{0}}/\alpha }}={{\left| f\left( x \right) \right|}^{p}}}$$,
$${x\in {{F}_{k}}}$$において$${g={{b}_{k}}}$$であり、
$${{{g}_{iy}}={{\left| {{b}_{k}} \right|}^{\left( 1-\beta \left( iy \right) \right)/\left( 1-\beta \right)}}{{e}^{i{{\varphi }_{k}}}}}$$
すなわち、
$${\left| {{g}_{iy}} \right|={{\left| {{b}_{k}} \right|}^{\left( 1-\beta \left( iy \right) \right)/\left( 1-\beta \right)}}={{\left| g \right|}^{\left( 1-\beta \left( iy \right) \right)/\left( 1-\beta \right)}}}$$。
すなわち、
$${{{\left| {{g}_{iy}} \right|}^{q_{0}^{'}}}={{\left| g \right|}^{q'}}}$$である。ヘルダーの不等式により、
$${\left| {{F}_{iy}} \right|\le \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\left| \left( T{{f}_{iy}} \right){{g}_{iy}} \right|dx}\le {{\left( \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\left| \left( T{{f}_{iy}} \right) \right|}^{{{q}_{0}}}}dx} \right)}^{1/{{q}_{0}}}}{{\left( \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\left| {{g}_{iy}} \right|}^{q_{0}^{'}}}dx} \right)}^{1/q_{0}^{'}}}}$$$${={{\left\| T{{f}_{iy}} \right\|}_{{{q}_{0}}}}{{\left\| {{g}_{iy}} \right\|}_{q_{0}^{'}}}\le {{M}_{0}}{{\left\| {{f}_{iy}} \right\|}_{{{p}_{0}}}}{{\left\| {{g}_{iy}} \right\|}_{q_{0}^{'}}}}$$.
ところが、
$${{{\left\| {{f}_{iy}} \right\|}_{{{p}_{0}}}}={{\left( \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\left| f \right|}^{p}}} \right)}^{1/{{p}_{0}}}}=1}$$
$${{{\left\| {{g}_{iy}} \right\|}_{q_{0}^{'}}}={{\left( \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{{{\left| g \right|}^{q'}}}dx \right)}^{1/{{q}_{0}}}}=1}$$
結局
$${\left| F\left( iy \right) \right|\le {{M}_{0}}}$$
 が得られた。同様にして、
$${\left| F\left( 1+iy \right) \right|\le {{M}_{1}}}$$
も示される。これで証明はおわる。

Elias M,Stein and Guido Weiss,
Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
Princeton Univ. Press,1971