Fourier 級数が収束しない連続関数の存在

Fourier 級数が収束しない連続関数の存在
まえがき
 
1.フーリエ級数の部分和
$${f\in {{L}^{1}}\left( \mathbb{T} \right)}$$のフーリエ係数を
$${\hat{f}\left( k \right)=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right){{e}^{-2\pi ikx}}dx}}$$
とおき、
$${\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\hat{f}\left( k \right){{e}^{2\pi ikx}}}}$$
を$${f\in {{L}^{1}}\left( \mathbb{T} \right)}$$のFourier級数とする。
Fourier 級数の有限部分和
$${{{S}_{N}}f\left( x \right)=\sum\limits_{k=-N}^{N}{\hat{f}\left( k \right){{e}^{2\pi ikx}}}}$$
を考える。
$${{{S}_{N}}f\left( x \right)=\sum\limits_{k=-N}^{N}{\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right){{e}^{-2\pi ikt}}dt}{{e}^{2\pi ikx}}}}$$
$${=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right){{D}_{N}}\left( x-t \right)dt}}$$$${=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-t \right){{D}_{N}}\left( t \right)dt}}$$
と書き換えられる。ここで、
$${{{D}_{N}}\left( t \right)=\sum\limits_{k=-N}^{N}{{{e}^{2\pi ikt}}}=\frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\sin \left( \pi t \right)}}$$
はDirichlet核である。
 
２．連続関数であってもそのFourier級数がある点で収束しない
$${f\left( x \right)}$$が連続関数であってもそのFourier級数がある点で収束しない例を1873年にDu Bois Reymondが提示した。その後何人もの人が、具体的な関数の例を提案した。しかし具体例を作るのとは別のアプローチ、すなわちつぎに述べるBanach-Steinhausの定理からこれを示すことができる。

Banach-Steinhausの定理
$${X}$$をBanach　空間、$${Y}$$を線形ノルム空間とする。$${{{\left\{ {{T}_{\alpha }} \right\}}_{\alpha \in A}}}$$ を$${X}$$ から$${Y}$$への有界線形作用素の族とする。このとき、ある$${M>0}$$が存在して
すべての$${\alpha \in A}$$ に対して$${\left\| {{T}_{\alpha }} \right\| \le M}$$か
または
ある$${x\in X}$$ が存在して$${\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,{{\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}_{Y}}=\infty }$$
のいずれか一方がなりたつ。

$${X=C\left( \mathbb{T} \right)}$$のノルムを$${{{\left\| \,\,\cdot \,\, \right\|}_{\infty }}}$$とおき、$${Y=\mathbb{C}}$$ とする。そして、線形作用素
$${{{T}_{N}}}$$ ：$${X\to Y}$$ を
$${{{T}_{N}}f={{S}_{N}}f\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)}{{D}_{N}}\left( t \right)dt}$$
と定義する。
$${{{L}_{N}}=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{D}_{N}}\left( t \right) \right|}dt}$$とおくと
$${\left| {{T}_{N}}f \right|\le {{L}_{N}}{{\left\| f \right\|}_{\infty }}}$$
が成立する。
$${{{D}_{N}}\left( t \right)=\sum\limits_{k=-N}^{N}{{{e}^{2\pi ikt}}}=\frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\sin \left( \pi t \right)}}$$
において、$${\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)=0}$$ は$${t\in \left( 0,1 \right)}$$ において有限個の$${t}$$でしかゼロとならない。したがって、$${sgn {{{D}_{N}}\left( t \right)}}$$ は有限個の不連続点（跳躍点）をもつ関数である。そこで、$${{{\left\| f \right\|}_{\infty }}=1}$$ となる$${f\in \mathcal{C}\left( \mathbb{T} \right)}$$を適当にえらえば、任意の精度で$${sgn {{D}_{N}}\left( t \right)}$$を近似することができる。つまり、$${\forall \varepsilon }$$で$${\left| {{T}_{N}}f \right|\ge {{L}_{N}}-\varepsilon }$$とできる。
（$${\left| {{T}_{N}}f \right|\approx \int\limits_{0}^{1}{{{D}_{N}}\left( t \right) sgn {{D}_{N}}\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{D}_{N}}\left( t \right) \right|}dt}$$）
作用素ノルムの定義より$${\left\| {{T}_{N}} \right\|=\sup \left\{ \left| {{T}_{N}}f \right|:{{\left\| f \right\|}_{\infty }}=1 \right\}}$$
を考えると、
$${\left\| {{T}_{N}} \right\|={{L}_{N}}}$$
となる。そこで、$${N\to \infty }$$のとき、$${{{L}_{N}}\to \infty }$$であることが示されたとすると、上のBanach-Steinhausの定理を応用して
”ある$${x\in X}$$が存在して$${\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,{{\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}_{Y}}=\infty }$$”のほうがなりたち、ある$${f\in C\left( \mathbb{T} \right)}$$が存在して、$${\underset{N\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\left| {{S}_{N}}f\left( 0 \right) \right|=\infty }$$が成り立つことになる。
Banach―Steinhausの定理は一様有界原理とも呼ばれている。
 
３．Lebesgu定数
$${{{L}_{N}}}$$ はルベッグの定数と呼ばれ次が証明できる。
$${N\to \infty }$$のとき、
$${{{L}_{N}}=\frac{4}{{{\pi }^{2}}}\log N+O\left( 1 \right)}$$
 
証明）$${{{L}_{N}}=2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\sin \pi t} \right|}dt}$$
$${\le 2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\pi t} \right|}dt+2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)\left( \frac{1}{\sin \pi t}-\frac{1}{\pi t} \right) \right|dt}}$$
$${\le 2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\pi t} \right|}dt+2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \left( \frac{1}{\sin \pi t}-\frac{1}{\pi t} \right) \right|dt}}$$
$${=2\int\limits_{0}^{1/2}{\left| \frac{\sin \left( \pi \left( 2N+1 \right)t \right)}{\pi t} \right|}dt+O\left( 1 \right)}$$
$${=2\int\limits_{0}^{N+1/2}{\left| \frac{\sin \left( \pi t \right)}{\pi t} \right|}dt+O\left( 1 \right)}$$$${=2\sum\limits_{k=0}^{N-1}{\int\limits_{k}^{k+1}{\left| \frac{\sin \left( \pi t \right)}{\pi t} \right|}dt}+O\left( 1 \right)}$$
$${=\frac{2}{\pi }\sum\limits_{k=0}^{N-1}{\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{\sin \left( \pi t \right)}{t+k} \right|}dt}+O\left( 1 \right)}$$
$${=\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{1}{\left| \sin \left( \pi t \right) \right|}\sum\limits_{k=0}^{N-1}{\frac{1}{t+k}dt}+O\left( 1 \right)}$$
$${=\frac{4}{{{\pi }^{2}}}\log N+O\left( 1 \right)}$$
参考：
$${\log \left( n+1 \right)=\int\limits_{1}^{n+1}{\frac{1}{x}dx<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{N}<}\,\,1+\int\limits_{1}^{N}{\frac{1}{x}dx=1+\log N}}$$
より
$${0<\sum\limits_{k=1}^{N}{\frac{1}{k}}-\log \left( N+1 \right)<1}$$

３．Banach―Steinhausの定理
 

$${X}$$ をBanach　空間、$${Y}$$を線形ノルム空間とする。$${{{\left\{ {{T}_{\alpha }} \right\}}_{\alpha \in A}}}$$ を$${X}$$から$${Y}$$への有界線形作用素の族とする。このとき、ある$${M>0}$$ が存在して
すべての$${\alpha \in A}$$に対して$${\left\| {{T}_{\alpha }} \right\| \le M}$$がなりたつか
または
$${X}$$で稠密なある$${{G}_{\delta }}$$集合に属する$${x}$$ が存在して$${\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,{{\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}_{Y}}=\infty }$$
のいずれか一方がなりたつ。

証明）$${\varphi \left( x \right)=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\sup }}\,\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}$$ とする。$${x\to \left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}$$ は連続であるから、$${\left\{ x:\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|>c \right\},c>0}$$は開集合である。したがって、$${{{V}_{n}}=\left\{ x:\varphi \left( x \right)>n \right\}=\bigcup\limits_{\alpha }{\left\{ x:\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|>n \right\}}}$$も開集合である。ここで、ある$${N}$$で$${{{V}_{N}}}$$が稠密でないとする。中心$${{{x}_{0}}}$$で半径$${r}$$の球$${B\left( {{x}_{0}},r \right)}$$がとれて$${B\left( {{x}_{0}},r \right)\cap {{V}_{N}}=\phi }$$がなりたつ。
すなわち、$${x\in B\left( {{x}_{0}},r \right)}$$$${\Rightarrow }$$$${x\in V_{N}^{c}\Rightarrow \left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|\le N,\forall \alpha }$$ ,
$${y=\frac{1}{r}\left( x-{{x}_{0}} \right)}$$とすると、$${\left\| y \right\|<1}$$ のとき、$${\left\| {{T}_{\alpha }}y \right\|=\frac{1}{r}\left\| {{T}_{\alpha }}\left( x-{{x}_{0}} \right) \right\|\le \frac{1}{r}\left( \left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|+\left\| {{T}_{\alpha }}{{x}_{0}} \right\| \right)\le \frac{2N}{r}}$$
がすべての$${\alpha \in A}$$ でなりたつ。すなわち、$${M=\frac{2N}{r}}$$として、$${\left\| {{T}_{\alpha }} \right\|\le M}$$がなりたつ。もうひとつの可能性として、すべての$${n}$$で$${{{V}_{n}}}$$が$${X}$$で稠密である場合。Baireのカテゴリ定理から$${X}$$で$${\bigcap\limits_{n}{{{V}_{n}}}}$$が稠密となる。すなわち、$${x\in \bigcap\limits_{n}{{{V}_{n}}}}$$で$${\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,{{\left\| {{T}_{\alpha }}x \right\|}_{Y}}=\infty }$$がなりたつ。
 
メモ：
Fourier級数がうまれたころ19世紀にはまだ関数概念は、はっきりしたものではなかった。
１．J.Fourier は偏微分方程式の解をFourier 級数を用いて表した
Théorie Analytique de la Chaleur(1822,firstly 1807)
２.Fourier 級数がある点で収束しない連続関数の存在を示した
（du Bois Reymond　1873）
3.Fourier 級数が至るところ発散するL1関数の存在を示した
（Kolmogorov 1926)
4. L2 のFourier 級数はほとんど至るところで収束することを示した（L.Carlson 1965）
5.　Lp,1<p<∞ のFourier 級数はほとんど至るところで収束することを示した（R.Hunt 1967）