ルートの中に分数がある積分

$${\displaystyle\int\sqrt{\frac{x-7}{x+2}}dx}$$

解き方

分数は、分母を置換するという発想を用いる。

解答

$${t=\sqrt{x+2}}$$とおく。
$${dt=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}dx}$$を得て、$${x=t^2-2}$$であるから、
$${2dt=\frac{1}{\sqrt{x+2}}dx}$$より、

$${\displaystyle\int\sqrt{\frac{x-7}{x+2}}dx}$$
$${=2\displaystyle\int\sqrt{x-7}dt}$$
$${=2\displaystyle\int\sqrt{t^2-9}dt}$$

次に$${t=3\cosh u}$$とおくと、$${dt=3\sinh u du}$$となる。

$${=2\displaystyle\int\sqrt{(3\cosh u)^2-9} \cdot 3\sinh u du}$$

$${\cosh^2 u-\sinh^2 u=1}$$より、

$${=18\displaystyle\int\sinh^2 u du}$$
$${=18\displaystyle\int(\displaystyle\frac{{e^u-e^{-u}}}{2})^2 du}$$
$${=\displaystyle\frac{9}{2}\int (e^{2u}-2u+e^{-2u})du}$$
$${=\displaystyle\frac{9}{2} (\frac{1}{2}e^{2u}-u^2-\frac{1}{2}e^{-2u})+C}$$

$${t=3\cosh u}$$より、
$${u=\cosh^{-1}\displaystyle\frac{t}{3}=\cosh^{-1}\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{3}}$$

したがって、

$${\displaystyle\frac{9}{2} (\frac{1}{2}e^{2\cosh^{-1}\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{3}}-\cosh^{-1}\displaystyle(\frac{\sqrt{x+2}}{3})^2-\frac{1}{2}e^{-2\cosh^{-1}\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{3}})+C}$$

補足

・逆双曲線関数は、「arc」でなく、arと表記になる。
ミスしないためにも、$${^{-1}}$$の表記にする。

・部分積分する手もあるだろう（未検証）。

$${2\displaystyle\int\sqrt{t^2-9}dt}$$にて、
$${I=\displaystyle\int\sqrt{t^2-9}dt}$$とおく。

$${I=\displaystyle\int(t){\prime}\sqrt{t^2-9}dt}$$
$${I=t\sqrt{t^2-9}-\displaystyle\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2-9}}dt}$$
$${I=t\sqrt{t^2-9}-\displaystyle\int\frac{t^2-9+9}{\sqrt{t^2-9}}dt}$$
$${I=t\sqrt{t^2-9}-\displaystyle\int\sqrt{t^2-9}-\displaystyle\int\frac{9}{\sqrt{t^2-9}}dt}$$
$${I=t\sqrt{t^2-9}-I-\displaystyle\int\frac{9}{\sqrt{t^2-9}}dt}$$

※$${\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx=\log|x+\sqrt{x^2+a}|}$$

※証明は微分すると、出てくる。
つまり、覚えておく必要がある。