２変数関数のマクローリン展開

$${f(x,y)=\sin(x+2y)}$$を第２次マクローリン展開せよ。

解き方

指示通りにマクローリン展開をする。
ただし、２変数だということに留意する。

１変数のマクローリン

$${f(x,y)=f(0,0)+\displaystyle\frac{f{\prime}(0)}{1!}x+\displaystyle\frac{f{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdot\cdot\cdot+\displaystyle\frac{f{^{(k)}}(0)}{k!}x^k+\cdot\cdot\cdot}$$

２変数のマクローリン

$${f(x,y)=f(0)+\displaystyle\frac{f{}(0,0)}{1!}(x\frac{ \partial  }{ \partial x }＋y\frac{ \partial  }{ \partial y })+\displaystyle\frac{f{}(0,0)}{2!}(x\frac{ \partial  }{ \partial x }＋y\frac{ \partial  }{ \partial y })^2+\cdot\cdot\cdot+\displaystyle\frac{f{}(0,0)}{k!}(x\frac{ \partial  }{ \partial x }＋y\frac{ \partial  }{ \partial y })^k+\cdot\cdot\cdot}$$

解答

$${f_x(x,y)=2\cos(2x+y)}$$
$${f_y(x,y)=\cos(2x+y)}$$
$${f_{xy}(x,y)=-2\sin(2x+y)}$$
$${f_{xx}(x,y)=-4\sin(2x+y)}$$
$${f_{yy}(x,y)=-\sin(2x+y)}$$

$${f(0,0)=0}$$
$${f_x(0,0)=2}$$
$${f_y(0,0)=1}$$
$${f_{xy}(0,0)=0}$$
$${f_{xx}(0,0)=0}$$
$${f_{yy}(0,0)=0}$$

$${f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+f_{xx}(0,0)x^2+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y^2}$$
$${=2x+y}$$

補足

１次の極限では、マクローリンが院試で問われやすい。
ロピタルは稀。