【1階微分方程式】解法一覧（工学系）

工学系の微分方程式の解法を示す。
教科書・参考書には公式として紹介されていて、
訳が分からない問題が多すぎる。

$${y=\displaystyle \int_{}^{} e^{\displaystyle \int p(x) dx} dx}$$

これらすべてを覚えるより、手順を理解することを目的とする。

変数分離

$${\displaystyle\frac{1}{Y(x)}y'=X(x)}$$に変形する。

$${y'-yx=0}$$の一般解を示せ。

$${\displaystyle\frac{1}{y}\displaystyle\frac{dy}{dx}=x}$$

$${\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{y}dy=\displaystyle \int x dx}$$

$${\ln|y|=\displaystyle \frac{1}{2}x^2+C}$$

$${y=\pm A^※ \exp(\displaystyle \frac{1}{2}x^2)}$$

※$${A=e^C}$$を示しているが、任意数なので置き換え可能。

同次系

$${y=ux}$$と置いて、$${u,x}$$の微分方程式として計算をする。

$${xy'+y=0}$$の一般解を示せ。

両辺を$${x}$$で割る。

$${y'+\displaystyle\frac{y}{x}=0}$$

$${y=ux}$$とすると、

$${y'=u'x+u}$$

$${u'x+u+u=0}$$

$${u'x=-2u}$$

$${u'x=-2u}$$

$${\displaystyle\frac{1}{-2u}\displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}}$$

分数

$${y'=\displaystyle\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}}$$

xとyの係数が一致しない。

$${ad-bc \neq0}$$

$${y'=\displaystyle\frac{x+y-1}{x-y-3}}$$

$${\alpha+\beta-1=0}$$
$${\alpha-\beta-3=0}$$
として、$${\alpha=2 ,\beta=-1}$$

$${X=x-2,Y=y+1}$$とおくと、$${y'=\displaystyle\frac{dX}{dY}}$$

$${y'=\displaystyle\frac{x+y-1}{x-y-3}=\displaystyle\frac{x-2+y+1}{x-2-(y+1)}=\displaystyle\frac{X+Y}{X-Y}}$$

以降は、$${Y=uX}$$とおいて、同次系。

xとyの係数が一致する。

$${ad-bc=0}$$

$${y'=\displaystyle\frac{x+y-1}{x+y-3}}$$

$${u=x+y}$$とおくと、$${u'=1+y'}$$

$${u'-1=\displaystyle\frac{u-1}{u-3}}$$

$${u'=\displaystyle\frac{2u+2}{u-3}}$$

以降は、変数分離して部分分数分解。

1階線形微分方程式

名前は長いが、$${=0}$$ではない微分方程式。

$${y'-x=xy}$$

正確には、1階線形微分方程式は、
$${y'+P(x)y=Q(x)}$$で、(右辺)$${=Q(x)y^0}$$である。

定期テスト・院試で足元をすくわれないように。
この問題の注意点は、右辺にはyがない状態にする。

$${y'-xy=x}$$

$${y'-xy=0}$$について解くと、

$${y=A\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)}$$

任意定数$${A}$$を$${x}$$を変数とする関数$${a(x)}$$とおく。

$${y'=a'(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)+xa(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)}$$

元の式に代入すると、第2項・第3項が相殺される。

$${a'(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)+xa(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)-xa(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)=x}$$

$${a'(x)\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)=x}$$

以降は、$${a(x)}$$を求めて、$${y=A\exp({\displaystyle\frac{1}{2}}x^2)}$$に代入する。

ベルヌーイ型

$${y'+P(x)y=Q(x)y^n}$$このとき、$${n>2}$$
$${n=0}$$は、前節の1階線形微分方程式。
$${n=1}$$は、変数分離系。

$${y'-x=xy^4}$$

右辺から$${y}$$を消せば、1階線形微分方程式。
$${y^{-4}y'-y^{-3}x=x}$$

$${y^{-4}y'-y^{-3}x=0}$$より、$${y'-yx=0}$$

前問と同じ解が得られる。以降は、1階線形微分方程式と同じ要領で解答する。

完全微分方程式

定義

完全微分方程式とは、
ある関数$${u(x,y)}$$の全微分$${du=u_xdx+u_ydy}$$の値が0になる。
$${u_x=P(x,y),u_y=Q(x,y)}$$とすると、

完全微分方程式の必要十分条件は、
$${\displaystyle\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}}$$

$${(y+xy)dx+xdy=0}$$を完全微分形で解け。
（本来は、変数分離で解ける問題）

$${\displaystyle\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}}$$より、

$${\displaystyle\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=x}$$
$${\displaystyle\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=1}$$

与式は完全微分形ではない。

$${x}$$のみに依存した積分因子$${\lambda}$$を求める。

要するに、
$${\displaystyle\frac{\partial \lambda (y+xy)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial \lambda x }{\partial x}}$$が成立する因子を求める。

「$${x}$$のみに依存した」→$${\lambda}$$は$${x}$$についての関数。

$${\lambda(y+xy)=\lambda'x+\lambda}$$
$${\lambda=e^x}$$

$${\displaystyle\frac{\partial e^x(y+xy)}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial e^xx }{\partial x}}$$

確かに、$${(1+x)e^x}$$で等式成立している。

一般解

$${du=\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}dx+\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}dy=0}$$

1. $${du}$$から$${u}$$を求める。

2. $${P}$$を$${x}$$で積分して$${u}$$を求める。

3. 2で求めた$${u}$$を$${y}$$で偏微分して$${P,Q}$$の関係を求める。

4. 3を2に代入して一般解を求め、1と合流する。

1.$${u=C}$$となる。（$${C}$$は任意数）

$${\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=P}$$

2.$${u=\displaystyle \int P dx+g(y)}$$　
（$${g(y)}$$は$${y}$$を変数とした関数）

$${\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=Q=\displaystyle\frac{1}{\partial y}\displaystyle \int P dx+g'(y)}$$

$${g'(y)=Q-\displaystyle\frac{1}{\partial y}\displaystyle \int P dx}$$

3.$${g(y)=\displaystyle \int {(Q-\displaystyle\frac{1}{\partial y}\displaystyle \int P dx)}dy}$$

4.$${u=\displaystyle \int P dx+\displaystyle \int {(Q-\displaystyle\frac{1}{\partial y}\displaystyle \int P dx)}dy=C}$$