指数関数の微積

$${\displaystyle \int a^xsin2x dx}$$

解き方

部分積分をする典型問題。
ただし、$${a \neq e}$$の指数関数の微積はあまり出題されないので、盲点になりやすい。
$${a}$$の条件は、$${{a \neq 1}$$の自然数

積分

$${a^x=e^{\log_ea^x}}$$
$${a^x=e^{x\log_ea}}$$   ($${x}$$を動かした。)

$${{\int a^xdx=\int e^{x\log_ea}dx}}$$
$${{=\frac{ e^{x\log a}}{\log a }+C}}$$

$${{\int a^xdx=\frac{ a^x}{\log a }+C}}$$

微分

証明は、定義からアプローチするべきだが骨折りな計算。
導出だけなら対数微分法。

$${y=a^x}$$とする。
$${\log y=x\log a}$$
$${\frac{1}{y}\cdot y {\prime}=\log a}$$
$${y {\prime}=y\cdot \log a=a^x\log a}$$

解答

$${\displaystyle \int a^x(-\frac{1}{2}\cos2x)\prime dx}$$

$${=a^x(-\displaystyle\frac{1}{2} \cos 2x)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle \int a^x\log a\cos2x dx}$$

次に、
$${\displaystyle \int a^x\log a(-\frac{1}{2}\sin2x)\prime dx}$$

$${=a^x\log a(-\frac{1}{2}\sin2x)+\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle \int a^x (\log a)^2 (\sin2x)dx}$$

$${=a^x\log a(-\frac{1}{2}\sin2x)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle \int a^x(\log a)^2(\sin2x)dx}$$

$${I=a^x(-\displaystyle \frac{1}{2}\cos2x)+\displaystyle\frac{1}{2} (a^x\log a(-\frac{1}{2}\sin2x)+\displaystyle\frac{1}{2}I(\log a)^2)}$$

$${(1-\displaystyle\frac{1}{4}(\log a)^2)I=a^x(-\displaystyle \frac{1}{2}\cos2x)+\displaystyle\frac{1}{2} a^x\log a(-\frac{1}{2}\sin2x)}$$