第n次導関数の求め方

次の数式について、n次導関数を求めよ。
$${f(x)=x^2e^{2x}}$$

解き方

第$${n}$$次関数はライプニッツの公式を使用する。

ライプニッツの公式

$${(g(x)h(x))^{(n)}=\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{ C }_kg(x)^{(n-k)}h(x)^{(k)}}$$

解答

$${g(x)=x^2,h(x)=e^{2x}}$$とおく。

ライプニッツの公式より、

$${f(x)^{(n)}=\displaystyle \sum_{i=0}^n {}_n \mathrm{ C }_kg(x)^{(n-k)}h(x)^{(k)}}$$
$${={}_n\mathrm{ C }_0g(x)^{(n)}h(x)+{}_n\mathrm{ C }_1g(x)^{(n-1)}h(x)^{\prime}+{}_n\mathrm{ C }_2g(x)^{(n-2)}h(x)^{\prime\prime}}$$
$${=x^2e^{2x}+2nxe^x+\frac{n(n-1)}{2}\cdot2x}$$
$${=e^x(x^2+2nx+n(n-1))}$$   $${(n\geqq 2)}$$

$${n=1}$$のとき、$$f(x)^{\prime}=e^x(x^2+2x)}$$であり、$${f(x)^{(n)}}$$の式において$${n=1}$$を満たす。

以上より、
$${f(x)^{(n)}=e^x(x^2+2nx+n(n-1))}$$ 

$${f(x)^{\prime}=e^x(x^2+2x)}$$

注意点

・$${n=1}$$が満たすか確かめる。
・帰納法の証明不要の場合を除いて、証明する必要がある？