電磁誘導（メモ）

2021年11月21日 13:28

ビオ・サバールの法則

電磁気学I――電場と磁場 (物理入門コース新装版) 単行本（ソフトカバー） – 2017/12/6
長岡洋介 (著)p157

$$
\Delta \mathbf B(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \mathbf{t}(\mathbf{r}') \times (\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\Delta s
$$

電磁気学 (基礎演習シリーズ) Kindle版
中山正敏 (著)p87

$$
\Delta \bm B^{(c)}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{I\Delta \bm s \times (\bm r_p-\bm r_Q)}{|\bm r_p-\bm r_Q|^3}
$$

電磁気学　物理学　[分冊版] 単行本 – 1997/11/20小出昭一郎 (著)p50

$$
d\bm H=\frac{I}{4\pi r^2}d\bm s\times \frac{\bm r}{r}
$$

電磁気学 (電気・電子系教科書シリーズ 2) 単行本 – 2004/12/1
多田泰芳 (著), 柴田尚志 (著)p110

$$
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ids \sin \theta}{r_d^2}\\
d\bm B=…=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bm s\times \bm r_d}{r_d^3}
$$

磁力におけるクーロンの法則

$$
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^3}
$$

向きを考えないようにすると

$$
|d\mathbf{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\boldsymbol{l} \times \mathbf{r}|}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\boldsymbol{l}||\mathbf{r}|\sin{\theta}}{r^3}
$$

例えばベクトル$${\mathbf a}$$があって、
$${|\mathbf a|=a}$$のように考えるなら
絶対値勝手にとって

$$
dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dlr \sin{\theta}}{r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin{\theta}}{r^2}
$$

$${\mu_0}$$は真空中の透磁率

$$
\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , \text{Tm/A} = 1.256637061 \times 10^{-6} , \text{Tm/A}
$$

単位はテスラ・メートル毎アンペア（Tm/A）。

相対透磁率$${\mu_r }$$は、物質の透磁率$${ \mu }$$を真空の透磁率（$${\mu_0 }$$で割ったものです。数学的に表すと、以下の関係が成り立ちます。

$$
\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}
$$

$${\times}$$は外積
$${\mathbf{H}}$$は磁場
$${\mathbf{I}}$$は電流
$${l}$$は長さ
$${d\boldsymbol{l}}$$で線素ベクトル
$${\mathbf{r}}$$は位置
$${r}$$は距離

磁束密度と磁場は

$$
\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}
$$

ここで、
$${\mathbf{B}}$$ = 磁束密度（テスラ）
$${ \mu }$$ = 媒質の透磁率（真空の透磁率は $${ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , \text{T m/A} }$$
$${ \mathbf{H} }$$ = 磁場強度（アンペア毎メートル）

透磁率が真空中の透磁率なら磁束密度を磁場に置き換えることができて

$$
d\mathbf{H} = \frac{1}{4\pi} \frac{I d\boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^3}= \frac{I d\boldsymbol{l}\times \mathbf{r}}{4\pi r^3}\\
$$

クロス積は

$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \sin(\theta)\\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \sin(\theta) \cdot \boldsymbol{n}
$$

ただし$${\cdot}$$はただの積

クロス積のスカラー倍に関する演算規則は

$$
(k\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} = k (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \times (k\boldsymbol{b})
$$

$$
(k\boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b} = k(a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = k \cdot (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\\
\boldsymbol{a} \times (k\boldsymbol{b}) = (a_1, a_2, a_3) \times k(b_1, b_2, b_3) = k \cdot (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\\
k (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = k \cdot (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$

話を戻すと（ただし$${\cdot}$$はただの積）

$$
d\boldsymbol{l} \times \mathbf{r} = |d\boldsymbol{l}||\mathbf{r}|\sin\theta \cdot \bold n= dl \cdot r \sin\theta\cdot \bold n\\
$$

と置いて

$$
d\mathbf{H} = \frac{I dl \sin\theta}{4\pi r^2} \cdot \bold n
$$

あるいはクロス積のスカラー倍の演算規則にのっとって$${\frac{1}{r}}$$をひっこぬくと

$$
d\mathbf{H} = \frac{I d\boldsymbol{l}}{4\pi r^2} \times \frac{\mathbf{r}}{r} =\frac{I }{4\pi r^2} d\boldsymbol{l}\times \frac{\mathbf{r}}{r}
$$

ここで$${\frac{\mathbf{r}}{r}}$$は単位ベクトル。
単位ベクトルとの外積なので出力ベクトルは

$$
|d\bm l||\hat{\bm r}|\sin \theta=|d\bm l|\sin \theta=
$$

つまり微小距離=線素が往々にして$${\sin}$$の効力でさらに縮む。
ここで$${I}$$を乗じて$${I|d\bm l|}$$となるので、電流が微小距離あたりに分配される。

$${d\bm l}$$地点は導線上にあり、$${\bm r}$$地点が銅線から垂直にあれば$${\theta = 90\degree}$$であって$${\sin\theta = \sin\frac{\pi}{2}=1}$$
この時は微小な$${d\bm l}$$が縮むことなく出力に渡る。

内積と外積の積分

内積の積分:

2つのベクトル関数 $${ \mathbf{A}(t) }$$ および $${ \mathbf{B}(t) }$$ の内積の積分を考えましょう。内積の積分は以下のように定義されます。

$$
\int_a^b \mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{B}(t) , dt = \int_a^b (A_1(t)B_1(t) + A_2(t)B_2(t) + A_3(t)B_3(t)) , dt
$$

ここで、$${ \mathbf{A}(t) = \langle A_1(t), A_2(t), A_3(t) \rangle }$$ および $${ \mathbf{B}(t) = \langle B_1(t), B_2(t), B_3(t) \rangle }$$ です。それぞれの成分関数を積分して結果を求めます。

外積の積分:

外積（クロス積）の積分も同様に計算できます。2つのベクトル関数 $${ \mathbf{A}(t) }$$ および $${ \mathbf{B}(t) }$$ の外積の積分は以下のように定義されます。

$$
\int_a^b \mathbf{A}(t) \times \mathbf{B}(t) , dt
$$

この積分は、各成分について個別に積分を実行し、それらの結果からベクトルを構築することで計算できます。外積の各成分は、$${ \mathbf{A} ) と ( \mathbf{B} }$$ の各成分の関数であり、これらの関数に対して通常の積分を適用します。

例:

$$
\int_a^b (\mathbf{A}(t) \times \mathbf{B}(t))_i , dt = \int_a^b (A_j(t)B_k(t) - A_k(t)B_j(t)) , dt
$$

ここで、$${ i, j, k }$$ は循環的に $${ 1, 2, 3 }$$ を取り、$${ i \neq j \neq k )}$$です。

これらの積分が具体的にどのように機能するかは、選択されたベクトル関数 $${ \mathbf{A}(t) }$$ および $${ \mathbf{B}(t) }$$ の具体的な形に依存します。各成分の積分を個別に計算し、それらを組み合わせて最終的なベクトルを得ることができます。

ビオ・サバールの法則の積分

導体を経路とみなした線積分。
すなわち導体に沿って流れている電流が、
磁場の観測点に寄与している分だけ値を足していく。

直線

直線導体に沿って一定の電流が流れる場合の磁場を計算する場合。

導体上に原点があるならば、導体上の変位ベクトルと磁場の観測点を示す位置ベクトルに対して磁場のベクトルは直交する。この時磁場は導体を中心とする円を成す。

特に磁場の観測点がxy平面上にあるならば、観測点の位置ベクトルがxy平面上に落とす影は磁場のベクトルとxy平面上でプラスマイナス90度の関係になる。

以下ChatGPT4

まず、直線導体の位置をパラメータ化し、観測点までの距離ベクトルを定義します。簡単のため、導体を$${ z }$$軸上に置き、磁場の観測点を$${ \mathbf{r} = (x, y, z) }$$とします。導体上の点を$${ \mathbf{r'} = (0, 0, z') }$$として、微小電流要素$${ d\mathbf{l} }$$を$${ (0, 0, dz') }$$と設定します。

すると、ビオ・サバールの法則により：

$$
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times (\mathbf{r} - \mathbf{r'})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3}
$$

これを計算し、導体全体にわたって積分を実行することで、磁場$${ \mathbf{B} }$$を求めることができます。具体的には：

$$
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(0, 0, dz') \times (x, y, z - z')}{((x^2 + y^2 + (z - z')^2)^{3/2})}
$$

上記の積分を計算することは、一般的には難しいですが、特定の観測点での磁場や、導体の特定の部分からの寄与を計算する際には可能です。計算をさらに簡単にするために、観測点の位置や導体の範囲、さらには導体が無限に長いと仮定することもできます。具体的な問題やシナリオに応じてアプローチを選択し、積分を計算します。