パティーン総当たり。

2024年7月19日 18:38

2×2

[[0,0,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0],[0,0,1,1],[0,1,0,0],[0,1,0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,1],[1,0,0,0],[1,0,0,1],[1,0,1,0],[1,0,1,1],[1,1,0,0],[1,1,0,1],[1,1,1,0],[1,1,1,1]]

4C0

ビット反転すると4C4

4C1

平行移動、あるいはグリッド全体の回転

ビット反転すると4C3

4C2

この斜めのやつも、１次元配列を回転させると考え、最初と末尾が連続すると考えるなら[0,1,1,0]と[1,0,0,1]であって、1が連続する形と認識することができる。

セルに単純なxy整数座標を当てた場合、Pattern7とPattern10は黒セル間の距離が$${\sqrt 2}$$になるから、セル隣接とは明確に区別される。
逆に斜めも距離1などと定義すると、見た目斜めでもセル隣接と区別がつかない。

3×2

[[0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,1,1],[0,0,0,1,0,0],[0,0,0,1,0,1],[0,0,0,1,1,0],[0,0,0,1,1,1],[0,0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0,1],[0,0,1,0,1,0],[0,0,1,0,1,1],[0,0,1,1,0,0],[0,0,1,1,0,1],[0,0,1,1,1,0],[0,0,1,1,1,1],[0,1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,1],[0,1,0,0,1,0],[0,1,0,0,1,1],[0,1,0,1,0,0],[0,1,0,1,0,1],[0,1,0,1,1,0],[0,1,0,1,1,1],[0,1,1,0,0,0],[0,1,1,0,0,1],[0,1,1,0,1,0],[0,1,1,0,1,1],[0,1,1,1,0,0],[0,1,1,1,0,1],[0,1,1,1,1,0],[0,1,1,1,1,1],[1,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,1],[1,0,0,0,1,0],[1,0,0,0,1,1],[1,0,0,1,0,0],[1,0,0,1,0,1],[1,0,0,1,1,0],[1,0,0,1,1,1],[1,0,1,0,0,0],[1,0,1,0,0,1],[1,0,1,0,1,0],[1,0,1,0,1,1],[1,0,1,1,0,0],[1,0,1,1,0,1],[1,0,1,1,1,0],[1,0,1,1,1,1],[1,1,0,0,0,0],[1,1,0,0,0,1],[1,1,0,0,1,0],[1,1,0,0,1,1],[1,1,0,1,0,0],[1,1,0,1,0,1],[1,1,0,1,1,0],[1,1,0,1,1,1],[1,1,1,0,0,0],[1,1,1,0,0,1],[1,1,1,0,1,0],[1,1,1,0,1,1],[1,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,1],[1,1,1,1,1,0],[1,1,1,1,1,1]]

このうち

の27種は2×2で生まれたものたちと同種である。
2×2に対して回転および平行移動して一致するものらであると定義する。

2×2は$${2^4=16}$$種を生成する。
3×2のうち、3×2でしか生成できない3×2オリジナルと、
2×2を重ねあわせて生成できる2×2の構築物とを考えるとしよう。
この重ね合せからは$${2^4 \times 2=32}$$種が生成される。そこから重複を抜くと図の27種である。
重複は図のPattern5, 9, 13の3種である。
また、全て白セルの2×2グリッドは、全て白セルの3×2グリッドに吸収されてそもそも生成されない。これが2種である。

3×2でしか生成されない種は以下の37種。

黒パターンを囲む矩形を想定し、
それが下位の矩形（例えば2×2）に収まるか収まらないかで判定できる。
逆に言えば、グリッドの外周の四辺に対し、各々の辺に少なくとも一つ以上の黒パターンが存在すれば、それは下位のグリッドでは表現できないパターンである。
逆に言えば一つも黒パターンが存在しない辺が一つでもあるなら、そのパターンは下位のグリッドで表現できる。

3×3

2✕4

4✕2だと$${2^8=256}$$パターンでしかないが
1行追加すると4✕3になって$${2^12=4096}$$である。
4✕2で生成した分（4✕3の1行目が全部白）は省くことができるが、そうだとしても3840は追加で生成される。

図は無し。

スプラインで補間などする

生成されたパティーンをベクトルとみなし、それらを補完したもの。
ベクトルはさらに順列をとり、曲線は可能な限りの経路を通ろうとする。
ただし順列はとんでもない数が生成されるため、100で打ち切っている。
線がにょろにょろしてるときはおそらく打ち切られたと思って良い。
おそらく本当に全ての経路を通過したならその図形は凸包に近い形になるであろうと多分おそらく予測されるからである。
特に単純に直線を引いていった場合、必ず凸包の経路が含まれるから、この場合は凸包をなすはず。

3*3の順列100打ち切り。

$$
1! = 1 \\
2! = 2 \\
3! = 6 \\
4! = 24 \\
5! = 120 \\
6! = 720 \\
7! = 5,040 \\
8! = 40,320 \text{(だいたい4万)}\\
9! = 362,880 \text{(だいたい30万)}\\
10! = 3,628,800 \text{(だいたい300万)}\\
11! = 39,916,800 \text{(だいたい4000万)}\\
12! = 479,001,600 \text{(だいたい4億)}\\
13! = 6,227,020,800 \text{(だいたい60億)}\\
14! = 87,178,291,200 \text{(だいたい800億)}\\
15! = 1,307,674,368,000 \text{(だいたい1兆)}\\
16! = 20,922,789,888,000 \text{(だいたい20兆)}\\
$$

3*3のランダム順列10打ち切り。

4*4の
16000から17000
ただし順列100まで
全ての経路のうち、どの経路だけ線を引くのかを選択するする場合、総数はほぼ無限であろう。

4*4の
16000から17000
ただしランダム順列10まで

ランダムで抜いたらニョロニョロが消えるかと思いきやそうでもない。

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