非圧縮性ナビエ・ストークス方程式
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参考図書
流体解析の基礎 (日本語) 単行本 – 2014/3/26 河村 哲也 (著)
数値シミュレーション入門 (Computer Science Library) (日本語) 単行本 – 2006/7/1 河村 哲也 (著)
流体計算と差分法 (日本語) 単行本 – 2005/3/1 桑原 邦郎 (著), 河村 哲也 (著)
テンソル解析 基礎数学選書 23 田代 嘉宏 (著)
![非圧縮性ナビエ・ストークス方程式1](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37175331/picture_pc_df5bdef75053b16f707367a5be6644a1.png)
![非圧縮性ナビエ・ストークス方程式2](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37175336/picture_pc_edc7746fd5a54b675f297889b83603bb.png)
上の∇・v=0は連続の式。質量保存則。
下の式は非圧縮性ナビエストークス方程式。運動量保存則。この式は各種パラメータを無次元量に直してあるとのこと。
Reはレイノルズ数。無次元量化の影響を受け持つ係数。
流速が小さい、スケールが小さい、粘性が大きい=レイノルズ数が小さい
慣性と粘性の比。レイノルズ数が小さい方が粘性が慣性に勝る。
レイノルズ数が小さい方が粘っこい。
ボールド体のニューは速度場、つまり出力に速度ベクトルを吐くベクトル場。pは圧力。2次の場合、速度場は
![画像5](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37185446/picture_pc_ed9af948b4c333eea27846dbd30ef59f.png)
あるいは
![画像21](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/40308939/picture_pc_4466d70cae9cc2ec71b67e80cbeb72dd.png)
u,vは流体の速度成分。スカラー場。つまり出力にスカラーを吐く。
最初の式はu,vの成分毎の連立方程式を圧縮したもの。例えば2次の場合は以下のように表す。
![非圧縮性ナビエ・ストークス方程式35](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37215824/picture_pc_59fe9bbb5f6158a8e94d9e17c6df01a2.png)
![非圧縮性ナビエ・ストークス方程式34](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37215818/picture_pc_d2f9e3eeabe3e84a4c4fc16dc01c79ae.png?width=800)
通常ベクトル場の発散なら出力はスカラー。テンソル場の発散なら出力はベクトル。出力にベクトル項を持つような式は、そのベクトルの次数に応じた連立方程式に分解されると考える。つまり出力が2次のベクトルなら形成される方程式は2つである。
発散
発散、イコールゼロなら連続の式を表す。
![画像19](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37618871/picture_pc_36b8d752f486bbb9a43f81ed6a888759.png)
対流(移流)項:発散の逆のヤツ
発散に似てるが演算の方向が違うと発散ではない。出力はまだ演算子。どちらかといえばナブラの仲間である。
成分同士の積の総和をとると
$$
u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}
$$
という形の演算子。
2次のナビエストークス方程式では以下のようにベクトル場を受け、各成分が連立方程式に振り分けられて登場する。
![003発散](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37185776/picture_pc_9def50fd04fe4d7d9740079727e251cb.png?width=800)
こっちはナブラ(横ベクトル)
![](https://assets.st-note.com/img/1647998119467-AS7RdlJJlA.png)
スカラー場を受けると
![](https://assets.st-note.com/img/1647998119364-gJZ5Dcjr6H.png)
ラプラシアン
次にラプラシアン(演算子)にベクトル場を引っ掛けたもの。スカラー場に作用すると出力はスカラー、ベクトル場に作用すると出力はベクトル。2次の場合
![004ラプラシアン](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37186232/picture_pc_b65333754e7ceb77a70dcc6635a866c6.png)
差分近似
ここで、これまで登場した中の1階偏微分と2階偏微分が差分近似の対象となる。
![画像14](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37209864/picture_pc_2e2d3b28c0fb4aaab911d9a16297c180.png?width=800)
![1変数2階差分a](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37187415/picture_pc_4ffa7c651de59d2a8aa6186cdbe27d81.png?width=800)
渦度・流れ関数法
圧力項を消去することを考える。
![非圧縮性ナビエ・ストークス方程式34](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37215818/picture_pc_d2f9e3eeabe3e84a4c4fc16dc01c79ae.png?width=800)
上の式をyで微分、下の式をxで微分、下の式から上の式を引く。
![画像31](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/66602668/picture_pc_cffaafdd71d2a3ea70943bf01bc4a80f.png)
なる渦度関数を考慮すると
![画像30](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/66602584/picture_pc_a00b5557c1f28b8dedd928d44aab624d.png?width=800)
が導かれる。また、連続の式から
![画像32](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/66602843/picture_pc_b85e3a5ee82b3fafd78f630dcd8c1780.png)
なる流れ関数の存在が定義できる。
全部あわせると
![画像33](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/66603153/picture_pc_7047518fa7ebc5be969449a489fc7f3e.png)
![画像34](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/66603296/picture_pc_f6792dbd257158d1bb593b237b423408.png?width=800)
まだ途中。
MAC法の場合
圧力項を独立に求めることを考える。
![画像3](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37176037/picture_pc_da2e3f6fdb58b77dc17ab2722fb85d0b.png?width=800)
変形して
![画像4](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37176048/picture_pc_f1637e892d39eaba80d417a51f7e305d.png?width=800)
ここでnは時間ステップ。すなわちn+1付きの項は未知。
求めたいのはv^n+1であるが、v^n+1を求めるためにはp^n+1を求めることが必要。
そのためにはまず両辺の発散をとる
![画像10](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37187318/picture_pc_4b44017b4c36f8a5c94b07b61d76ccdc.png?width=800)
基本的にニューの発散は0であることを利用しながらn+1ステップのニューを消す。発散が含まれてる項は消そうと思えば消せるが、発散の逆のヤツは消えない。pに付いて解くと
![画像11](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37187322/picture_pc_41bb89619a146a0c01e8237aed0172ce.png?width=800)
nステップのニュー(右辺第一項)を残すのは誤差を吸収するためとのこと
ただし右辺三項は消しても問題ない。逆に言えば一項も三項も消すと誤差が発生する。二項は発散の逆のやつなので発散と違って消えない。この式は圧力に関するポアソン方程式に相当する。
![ポアソン方程式](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37191850/picture_pc_b1b112c20086cb19688712744fa5ca71.png)
つまり右辺はまとめてq(x,y)あるいはq(x,y,t)
これで圧力pに関してヤコビ法、ガウス・ザイデル法、SOR法などの反復法で解くが、実際にナビエストークス方程式ではナブラが付いていることに注意。即ち実際に使う時には解いたp(2次元なら2重配列)の1階差分をとることとなる。
∇・(V・∇)Vは発散の逆のやつ(演算子)とベクトルの積=ベクトルのさらに発散であるので、出力はスカラー。以下、下付き文字はその成分に関する偏微分を表す。
![画像16](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37251405/picture_pc_f73b67d6ea40fbded829aba9a2b53efd.png?width=800)
![画像17](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37307664/picture_pc_e1993abe50bc58bd451e91eeafb4dfe2.png)
積の微分は
![画像18](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37307670/picture_pc_33504ab4db8c8d881c1f8f21e1a66145.png?width=800)
(u_x+v_y)は発散=ゼロの部分、全部消える。
![画像19](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/37307679/picture_pc_4ab5c8e4e806729df2700868fa605377.png?width=800)
これで圧力項pは求まる。
ここまででてきたものを
![画像28](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/40319573/picture_pc_780ee56330e06bf98a9169d24310cfac.png?width=800)
に放り込む。するとMAC法の基本的な要素は完成であるが(あとは格子をズラしたり色々する)、今のところ数値が爆散してしゃーないのでコードの掲載は控える。
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