パクパクの公式

こちらの動画でパクパクの公式というものを紹介しています。（正式名称ではありません）

パクパクの公式とは

図のように円に内接する四角形があり、各辺の長さを図のように定める時、e:f＝a×d：b×cが成り立つという公式です。詳しくは動画の方をご確認ください。

なぜこのような公式が成り立つのか？というコメントを頂きました。ありがとうございます。

というわけでこのパクパクの公式の証明をしていきたいと思います。

まず、e:f＝a×d：b×cは外項の積＝内項の積からe×b×c＝f×a×dと変形することができますね。

よってbce＝adf・・・①が成り立つことを証明していきます。

斜線部分の二つの三角形は相似の関係となります。円周角の関係から2組の角がそれぞれ等しいので相似だということができますね。

相似ということは対応する辺の比はすべて等しくなるのでe：h＝a：cという比例式を立てることができます。

この比例式について、外項の積＝内項の積からce＝ah・・・②となります。

また、斜線が引かれていない2つの三角形も同様に相似だということがわかります。

よって斜線が引かれていない2つの三角形の相似を利用するとf：h＝b：dという比例式を立てることができます。

この比例式について外項の積＝内項の積からdf＝bhとなります。

この式をhについて解くと、h＝df/b・・・③となります。

③の式を②の式に代入するとce＝adf/b・・・④となります。

④の式の両辺にbをかけるとbce＝afdとなります。

これで①の式と一致しましたのでパクパクの公式が成り立つということになります。

円に内接する四角形が出たらパクパクの公式。是非頭に入れておきましょう。