その２　足し算

次に足し算に言ってみましょう。

問題１：上の碁石と下の碁石を足してみたら、いくつになるかな？

上が3つ、下が2つなので、
３　＋　２　＝　？
という問題になります。

別々だったのものを一つに並べて、

隙間を無くせば、
３　＋　２　
の出来上がりです。

石を数えていけば、
１、２、３、４、５
なので、５個になりますね。

３＋２＝５

はこれですみます（１０進法ならですが）。

数字が１０種類以下なので、数が数えられる子供であれば、これはできるでしょう。

問題２：上の碁石と下の碁石を足してみたら、いくつになるかな？

上を数えると、７個（１０進法です）、下を数えると５個になります。
そうなると、問題は、
７　＋　５　＝　？
という問題になります。

まあ、ビジュアルには、上のように、並べてしまい、

このように繋げるのが足し算の意味です。これを数えるのですが、

５＋７＝１２　ということは、上のように考えているということです。
１０のところで桁を変えないと１０進法では表現できないので、１０の束を一つ作って、あまりが２個。

ということで、
５　＋　７　＝　１２（１０の束１つと、２個）
となります。

問題１のケースとは異なり、０、１、２、３、４、５、６、７、８、９の数字の種類では書ききれないので、１０進法では、桁を上げる必要が出てきます。

まあ、１６進法なら、桁は上がらず、

５　＋　７　＝　C

という、未知の数字が出てきて終わるんですけどね。
左から、１、２、３、４、５、６、７、８、９、A、B、C
と数えて、答えは、Cです。

まあ、これは今回はどうでも良いとして。

何が言いたいのかというと、

数字の種類が溢れてしまうので、２桁に上げるということは、こういうことをやっているのであるということを理解してもらうことだと思います。

算盤的な工夫について

３＋２＝５

はわかりやすいかも知れませんが、７＋５になると、桁が変わって直感的にはわかりにくくなる子がいるかも知れません。７＋５が、直感的に１２というのはわかりにくい。

つまり、

この画像を

この画像に頭の中で瞬時に変換しろと言われるとちょっと大変です。少なくとも、直感は働きません。

そこで、一つそろばん的な工夫があります。

１０という数を二つに分けてみます。

つまり、これを

並び替えて、

このように並べ替えます。

１０を２列に並べ替えると、５と５、５が二つになります。
５　＋　５　＝　１０
これは、実際に碁石を並び替えさせるとわかるんじゃないかと思いますし、納得がいくのではないかと思うのです。

１０は５と５に分けられる。

これをうまく使うと、さっきの７＋５もやりやすくなるかも知れません。

つまりは、

これを足すのですが、先ほどのようにではなくて、

このように考えてみようということです。
数式で書くと、次のようになります。

　　７　＋　５
＝　（５　＋　２）　＋　５
＝　５　＋　２　＋　５

ここで、５と５を足すと１０になることを覚えていれば、楽です。これが、そろばんの５の玉の工夫でして、簡単に計算ができるんですね。

つまりは、離れていた、５と５をくっつけてやります。
これが、１０という概念になっていれば、
左側の塊が５が2つなので、１０
右側を数えて、１、２なので、２
１０と２で、１２というのが答えになります。

数式的には、
　７　＋　５
＝　（５　＋　２）　＋　５
＝　５　＋　２　＋　５
＝　５　＋　５　＋　２
＝（５　＋　５）＋　２
＝　１０　＋　２
＝１２

となります。

このやり方だと、桁が溢れないのですよね。つまり、一桁同士の数字の足し算で全てが終わるので、直感的にもやりやすくなる。

碁石を並べると、１０を５を２束で表現するのがより見やすくなると思います。
見やすいというのは直感的になるということです。

ちなみに、碁石を並べてみると、数字の性質がよくわかって、面白いと思うのですよね。

最後に難問

問題、二つの碁石を足すといくつでしょう？

１０新法でやるとして、
上は数えて、９、下も同じ数ですから９です。

問題は、
９　＋　９　＝　？
となります。

いきなり、９と９と言われても難題です。九九を暗記していれば、9x2=18で記憶で答えることができますが、上の写真を見て、直感で１８と数えられる人はあまり多いとは思えないんですよね。

先ほどのそろばんの考え方でいきましょう。以下の形になります。

９はわかりにくいので、９を５と残りの数字に分けます。
５のところで区切ると、残りは4つになるので、

９　＝　５　＋　４

とわかると思います。
下の列も同じですので、
９　＝　５　＋　４

になります。

で、

先に左側をくっつけます。５が２つです。
５が２つで１０なのを先に覚えていれば、左の塊は１０であることがわかります。

あとは、残りの右側を数えれば良い。

数式だと、
　　９　＋　９
＝（５　＋　４）＋（５　＋　４）
＝　５　＋　４　＋　５　＋　４
＝（５　＋　５）＋　４　＋　４
＝　１０　　　　＋　４　＋　４

ここまできました。（まあ、この数式は子供には教えなくて良いです）　

で、右側の石を数えます。
数えれば良いでしょう。
１、２、３、４、
５、６、７、８
で８個ですね。

左が１０個と右が８個で、１８　というのが計算できます。

数式にすると、このようになります。

　　９　＋　９
＝（５　＋　４）＋（５　＋　４）
＝　５　＋　４　＋　５　＋　４
＝（５　＋　５）＋　４　＋　４
＝　１０　　　　＋　４　＋　４
＝　１０　　　　＋（４　＋　４）
＝　１０　　　　＋　８
＝　１８

数式は教える側が分かれば良いですが、こういう思考経路になっている訳です。

そろばん方式を使うと、桁が溢れる足し算を回避できるので（正確にいうと、桁が溢れる足し算は、5+5=10 に集約される）、一桁の足し算ができれば、完結するところがわかりやすいところだと思います。

一桁の足し算は、碁石で並べるとどれもわかりやすいと思います。

そのうち、

２　＝　１　＋　１
３　＝　２　＋　１
４　＝　２　＋　２
５　＝　３　＋　２
６　＝　３　＋　３
７　＝　４　＋　３
８　＝　４　＋　４
９　＝　３　＋　３　＋　３

などということがわかってくると思いますが、これはまた別の記事にすることにします。