a^3+ab+b^3=0を満たす整数解(a, b)を全て求めよ

サムネイルを見て「正答率が3.3パーセントしかない難問らしいな。挑んでみよう」と感じたが、「分子が1の分数」が整数となる条件などを考えたところ苦労せず解けた。

https://www.youtube.com/watch?v=SIGPa_Oaa8A

①と②を使わずに答案が書き終わってしまった……。

別解の一例を以下に示す。

[1]と[2]は自己答案と同じ。
[3]のとき、ab≠0
a<0かつb<0のとき　a^3+ab+b^3<0　より不適
a>0かつb>0のとき　a^3+ab+b^3>0　より不適
よってaとbの正負は一致しない。

与式は対称式であり、a>bと仮定しても一般性は失われない。
この仮定においてa>0>bであり、aとbの絶対値をそれぞれA, Bとおく。

A^3-AB-B^3=0より　A^3-B^3=AB ・・・ (1)

AとBは自然数であるため　A^3-B^3=AB>0　となり、　A>B ・・・ (2)

(1)より　AB=A^3-B^3=(A-B) (A^2+AB+B^2)

AとBは(2)を満たす自然数なのでA-B≧1がいえる。
よって(A-B) (A^2+AB+B^2) ≧A^2+AB+B^2となり、
AB=A^3-B^3=(A-B) (A^2+AB+B^2) ≧A^2+AB+B^2からAB≧A^2+AB+B^2を得る。
両辺からABを引くと、0≧A^2+B^2となるが、これはA≧1かつB≧1と矛盾する。

よってa≠0かつb≠0のときに題意をみたす解は存在しない。

[1]と[2]と[3]より、求めるべき解はa=b=0だけである。

因みに本動画のコメント欄を見ていて気になったコメントがあり、返信してみたところ、やはり「a^3 must divided by b, therefore a^3≦b」は正しくなかった模様。