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a^3+ab+b^3=0を満たす整数解(a, b)を全て求めよ
サムネイルを見て「正答率が3.3パーセントしかない難問らしいな。挑んでみよう」と感じたが、「分子が1の分数」が整数となる条件などを考えたところ苦労せず解けた。
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別解の一例を以下に示す。
[1]と[2]は自己答案と同じ。
[3]のとき、ab≠0
a<0かつb<0のとき a^3+ab+b^3<0 より不適
a>0かつb>0のとき a^3+ab+b^3>0 より不適
よってaとbの正負は一致しない。
与式は対称式であり、a>bと仮定しても一般性は失われない。
この仮定においてa>0>bであり、aとbの絶対値をそれぞれA, Bとおく。
A^3-AB-B^3=0より A^3-B^3=AB ・・・ (1)
AとBは自然数であるため A^3-B^3=AB>0 となり、 A>B ・・・ (2)
(1)より AB=A^3-B^3=(A-B) (A^2+AB+B^2)
AとBは(2)を満たす自然数なのでA-B≧1がいえる。
よって(A-B) (A^2+AB+B^2) ≧A^2+AB+B^2となり、
AB=A^3-B^3=(A-B) (A^2+AB+B^2) ≧A^2+AB+B^2からAB≧A^2+AB+B^2を得る。
両辺からABを引くと、0≧A^2+B^2となるが、これはA≧1かつB≧1と矛盾する。
よってa≠0かつb≠0のときに題意をみたす解は存在しない。
[1]と[2]と[3]より、求めるべき解はa=b=0だけである。
因みに本動画のコメント欄を見ていて気になったコメントがあり、返信してみたところ、やはり「a^3 must divided by b, therefore a^3≦b」は正しくなかった模様。
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