小学生でも解ける問題：３円玉と５円玉を使って表せない最大の数は何？

面白い問題だな、と思ったので書いてみる。

どういう問題かというと・・・
例えば、１００という数字は、５円玉が２０枚あれば出来る
９９という数字は、３円玉が３３枚あればできる
９８という数字は、５円玉が１９枚、３円玉が１枚あればできる・・・
というように組み合わせて数字を作っていったときに、どうやっても表せない最大数は何？という問題である。

そんなものどうやってわかるの？本当に小学生でも解ける？
と思うかもしれないが、まずは３の段を見ていただこう。

３　６　９　１２　１５　１８　２１　２４　２７　３０

１桁目だけみると
３　６　９　２　５　８　１　４　７　０
お気づきだろうか。３の段には、１桁目に１～９まで全ての数字が出るのだ。そして、５円玉を使えば２桁以上の数字は自由に作る事が出来る。

つまり、ある程度デカい数字ならば、５円玉と３円玉の組み合わせでどんな数でも表現できるのだ。
では、この「ある程度デカい数字」というのがいくつになるのか？これが答えになる。
３０で１桁目が１巡するので、３０以降の数は自由に作れそう。答えは３０未満のはずだ。

ここまでは３円玉で１桁目、５円玉で２桁目を作る事を考えてきたが、５円玉も一桁目に使う事を考えてみる。

３円玉のみで表現できる数字
３　６　９　１２　１５　１８・・・
５円玉のみで表現できる数字
５　１０　１５　２０・・・
５円玉１枚＋３円玉の場合表現できる数字
８　１１　１４　１７　２０・・・
５円玉２枚＋３円玉の場合表現できる数字
１３　１６　１９・・・

なんと、８以上の数は全て表現できてしまうのだ。

２０までしか書いてないが、驚くことにこれ以上の数字は
３円玉のみ
５円玉１枚と３円玉
５円玉２枚と３円玉
で全て表現できてしまう。

３円玉のみが３の倍数
５円玉１枚加えたやつが３の倍数ー１
５円玉２枚加えたやつが３の倍数＋１

で表現できてしまうためだ。

つまり、表現できない数字はそもそも
１　２　４　７
しかなく、正解は
７
となる。

滅茶苦茶難しそうだが、九九の表でも見て３の倍数の性質を知っていれば解けてしまう。
じつにおもしろい。