微分方程式の解法を新機能を使って書くだけの記事

[問題]2階線形微分方程式：

$${ y^{\prime \prime} - \frac{2}{x}y{\prime} +\frac{2}{x^2}y=xe^x \cdots (1) }$$

の一般解を求めよ。

[解答] (1)の同伴方程式は、

$${ y^{\prime \prime} - \frac{2}{x}y{\prime} +\frac{2}{x^2}y=0 \cdots (2) }$$

より、両辺に$${ x^2 }$$を乗じて、

$${ x^2y^{\prime \prime} - 2xy{\prime} +2y=0 }$$

となる。
これは2階のオイラー方程式であるから、この特性方程式：

$${ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 }$$

を解いて、$${(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 }$$より、$${\lambda = 1, 2}$$である。
これから$${ (2) }$$の基本解は$${ y_1 = x, y_2 = x^2 }$$である。
ゆえに、$${ (2) }$$の一般解は、$${ C_1x + C_2x^2 }$$である。
ここで、$${ y_1 }$$と$${ y_2 }$$のロンスキアン$${ W(y_1, y_2) }$$は、

$${ W(y_1, y_2) =  \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} = 2x^2 - x^2 =x^2 }$$

である。
よって、$${ (1) }$$の特殊解$${ y_0 }$$は

$$
\begin{array}{} y_0 &=& -x \int \frac{x^2\cdot xe^x}{x^2}dx + x^2\int\frac{x^2\cdot xe^x}{x^2}dx\\ &=& -x\int xe^x dx + x^2 \int e^x dx \\ &=& -x(x-1)e^x + x^2e^x \\ &=& xe^x  \end{array}
$$

となる。
以上より、$${ (1) }$$の一般解は、

$${ y = xe^x + C_1x + C_2x^2 }$$

である。

結論：LaTexのコマンド予測やWordの数式挿入のような機能を導入してほしい。
あと、改行すると数式が認識されなくなるのは次回の修正に期待したい。