AI と語る「近傍」と「開近傍」の違い

以下は位相空間論を学んでいくとき最初の難関となる「近傍」と「開近傍」の違いについて ChatGPT と対話したものです。終盤がなかなか興味深いやり取りになったので、誤謬についても訂正しないでそのまま紹介します。

［その２に続く］

近傍と開近傍の違いは？

ChatGPT
近傍と開近傍は、位相空間における点の周りの領域を表す概念で、以下のように異なります。

近傍：点 $x$ の近傍とは、$x$ を含む開集合のことを言います。つまり、$x$ の周りに少し余裕を持った領域を指します。
開近傍：点 $x$ の開近傍とは、$x$ の近傍のうち、$x$ 自身も含まれるもののことを言います。つまり、点 $x$ の周りの開集合のうち、$x$ 自身を含むものを指します。

例えば、実数直線上の点 $x$ の近傍は、$x$ を含む開区間になります。一方、$x$ の開近傍は、$x$ を含む開区間と、$x$ 自身のみからなる集合になります。開近傍は近傍の一種であると言えます。

すると開近傍から近傍を取り除いて残ったものが、近傍を形作る点そのもの？

ChatGPT
いいえ、開近傍から近傍を取り除いたものが、点 $x$ そのものを表すわけではありません。開近傍から近傍を取り除いた残りの部分は、点 $x$ を含まない部分であり、空集合になる場合もあります。
点 $x$ の近傍は、$x$ 自身を含めた開集合の集合であり、点 $x$ そのものを表すものではありません。近傍に含まれる開集合は、$x$ と十分に近い点を含むことが保証されていますが、必ずしも $x$ そのものを含むわけではありません。しかし、開近傍は $x$ 自身を含むので、$x$ を表す部分集合となります。

近傍とは、それを形作る点そのものも近傍と呼ぶ？

ChatGPT
一般に、点 $x$ を含む開集合全体の集合を $x$ の近傍系と呼びます。この近傍系には、$x$ そのものを含むものも含まれます。したがって、点 $x$ そのものを近傍と呼ぶことがあります。

ただし、一方向きに限定すれば、点 $x$ 自身を近傍と呼ぶことができますが、一般には両方向から近傍を定めることが多いため、単に「近傍」と言った場合には、$x$ そのものを含むかどうかについては特に明示されない場合があります。

また、点 $x$ 自身を含む開集合を $x$ の自身の近傍と呼ぶこともあります。この場合、明示的に「自身の」と言うことで、点 $x$ そのものを含むことを強調しています。

つまり何か点があったら、その点そのものを「近傍」と呼んでもいいし、その点を含む開集合について「近傍」と呼んでもいいということ？

ChatGPT
そうです。一般に、点 $x$ を含む開集合全体の集合を $x$ の近傍系と呼びますが、この中には $x$ そのものを含む開集合も含まれます。したがって、点 $x$ そのものを近傍と呼ぶことができます。また、$x$ を含む開集合全体を近傍と呼ぶ場合もあります。

ただし、$x$ そのものを近傍と呼ぶ場合は、明示的に「自身の近傍」と言うことが多いです。また、場合によっては、近傍と言った場合には、$x$ そのものを含むかどうかについては特に明示されない場合があります。したがって、文脈に応じて解釈する必要があります。

何か点があったら、その点そのものを「近傍」と呼んでもいいし、その点を含む開集合について「近傍」と呼んでもよくて、後者のほうの近傍だと明確にしたいときは「開近傍」と呼ぶ？

ChatGPT
はい、その通りです。一般に、点 $x$ を含む開集合全体の集合を $x$ の近傍系と呼び、この中には $x$ そのものを含む開集合も含まれます。したがって、点 $x$ そのものを近傍と呼ぶことができます。また、$x$ を含む開集合全体を近傍と呼ぶ場合もあります。

一方、$x$ を含む開集合のうち、$x$ そのものを含む最小の開集合を $x$ の開近傍と呼びます。開近傍は、$x$ の近傍の中で、$x$ そのものを含む部分集合を特別に指定したものです。したがって、「開近傍」という用語は、明確に特定された意味を持つ用語であり、$x$ そのものを含む部分集合を強調するために使われることが多いです。

点そのものを近傍と呼ぶとき、そのための何か特別な呼び方がある？

ChatGPT
点そのものを近傍と呼ぶ場合、一般的には「点 $x$ 自身を含む近傍」というように、明示的に「自身を含む」という表現を使うことが多いです。このように明示的に表現することで、点 $x$ そのものを含むことを強調することができます。

また、ある点 $x$ に対して、点 $x$ 自身を含む開集合を $x$ の自身の近傍と呼ぶこともあります。この場合、「自身の」という表現を使うことで、点 $x$ そのものを含む開集合を特別に指定しています。

点そのものを近傍と呼び、開近傍ではないと特定するための何か特別な呼び方は？

ChatGPT
点そのものを近傍と呼び、開近傍ではないと特定するために、特別な呼び方はありません。開近傍という用語が存在することから、開集合によって構成される近傍と、点そのものを含む近傍を区別することができます。したがって、文脈に応じて、点そのものを近傍として使うか、開近傍を使うか、明示的に指定する必要があります。例えば、$x$ の近傍を考える場合、文脈によっては、$x$ そのものを含む近傍を考えることもあれば、開近傍を考えることもあります。

開近傍ではなく点そのものを近傍と呼ぶことはできるけれど、そのための特別な名称があるわけではないと？

ChatGPT
はい、その通りです。点そのものを近傍と呼ぶことは可能ですが、そのための特別な名称はありません。点そのものを含む開集合を開近傍と呼ぶことができるように、開集合によって構成される近傍と点そのものを含む近傍を区別することができます。したがって、明示的に「点 $x$ 自身を含む近傍」という表現を用いたり、「自身の近傍」という言い回しを使ったりすることで、点そのものを含む近傍を特別に指定することができます。

「点自身を含む近傍」ですとその点以外のものも含まれてしまいませんか？「自身の近傍」ならそういう誤解を避けられそうですが。

ChatGPT
ご指摘ありがとうございます。確かに、「点自身を含む近傍」という表現では、その点以外の点も含まれてしまう可能性があります。一方、「自身の近傍」という表現では、点自身の近傍を特別に指定することができます。したがって、「自身の近傍」という表現がより適切であり、誤解を避けることができます。説明に不備があり、申し訳ありませんでした。

その呼称は数学の世界ではよく使われている？

ChatGPT
「自身の近傍」という表現は、数学の世界で一般的に使用される表現ではありますが、特別な用語として定義されているわけではありません。数学の文脈では、通常、点 $x$ の近傍という表現が使用され、その意味が文脈から明らかになることが多いです。ただし、特に点自身の近傍を強調する必要がある場合には、「自身の近傍」という表現が使われることもあります。

どうもありがとう。

ChatGPT
どういたしまして。他に何か質問があれば、お気軽にお聞きください。