自分のような専門外の人間が「数学書」を読む時のメモ
2024/04/30追記
投稿後2年以上経つが、未だに「いいね」を頂戴することを嬉しく思っている。これだけ読まれると読みにくい箇所や誤字が存在することはやや誠実さに欠けるように思われたので、適宜修正した。
また、ヘッダーを追加した(@dharmazeroalpha 氏より拝借)。
さらに、参考文献を追加した(Polya, 竹内)。
導入：執筆の背景
修士(文学)が数学を勉強する必要性に駆られている。
数学の書籍を読む方法について、学生時代の講義や自主ゼミによる遠い記憶と、数学徒の見よう見真似でしか理解できていないので、参考のために各大学の教員の方針がまとめられた情報も組み合わせて整理し共有する。
なお、基本的には僕の僕による僕のためのメモなので、他の人の参考になるかどうかは知ったことではない。
目的
統計検定1級のために以下の書籍を理解を伴って「読了」するための方法として、数学書の読み方の基本的な作法をまとめる。
前提知識：過去の経験
修士(文学)とはいいつつ、学部、大学院の頃に、数学科出身の先輩が主催する勉強会に参加して、読み方の基本的なスタンスを体験した。その時は以下のことを概念的に学んだ記憶がある。
数学書1冊の読了に時間がかかることを受け入れる
1章が1日で終わらないのは当たり前。1行しか進まない日もある。
上記経験では(参加者との分担もあったためか)2年弱かかった。
数式には「行間(ギャップ)」がある
数式はつながりがあるが、そのつながりが「当たり前」とは限らない。すなわち、定義の仮定に基づいた論理的な理由付けや、紙面の都合で省略された計算過程を追いかける必要がある
誤植が隠れていて、書かれたとおりの結果になるとは限らない
実際、演算の符号が逆であったり、項が記載されていなかったりする。
「定義」と「定理」は違う
それ以外にも「公理」「系」「補題」など様々な言明のクラスが存在する
少なくとも「定理」は「定義」に基づいた「証明」が必要。
紙とペンで書くことで理解ができる事が多い
読むだけでは理解が追いつかない。後述のような「写経」が本格的な理解の近道である
参考：学生時代に読んだ書籍
学生時代に読んだ書籍はDobson『一般化線形モデル入門』である。
学部2年の末から学部4年までかけて読んだ記憶がある。当時のノートも残っているが、数学的に本を読むということの難しさで、四苦八苦していた様が書かれている。機会があればノートも公開したい。
普通の本は1〜2日、簡易な内容であれば数時間で読み切れるような中、
年単位でようやく1冊読み切る、というような経験は大変ながらに強烈に印象に残り、僕の以降のキャリアを大きく左右するものとなった。
インターネットの叡智
「数学書 読み方」という安易なキーワードで検索すると、大学教員による数学書の読み方や、数学科で行われる輪講形式の講義(「セミナー」という)の準備の仕方についての記述が結果として返ってくる。
1つ1つを読んでいくことも重要であるし、特に学生諸氏に関しては、在籍する大学の数学教員に話を聞くのも有効であろう。本記事では、上記の記述や、Twitter(現X)などの投稿を拾いながら、ある程度共通していると思われる読み方の作法について簡単にまとめる。
①「理解した」の水準を定める
一般的な書籍であれば、その書籍が主張する内容について「そのように書いているから」でも「なんとなく正しそう」でも、とりあえず読み進められることがある。「本当か？」と思うような場面があっても、書籍によっては論拠となる文献を記載していることもあるため、そこにあたることで主張の妥当性を評価することができる。
しかし、数学書はそうとは限らない。記述や主張がなぜ正しいのかについて、外部に正解を求めずに、懐疑的に向き合う必要があるようだ。
また、書籍であれば数式に誤植が存在することはよくあることであるから、書籍に書いていることを鵜呑みにしないということは、特に数学に置いては重要視されているようだ。確かに、論文になると誤植をもとにした論理展開によって、主張が全く変わってしまうこともある。私も卒論や修論に関する研究で大いに指摘された。
数学に限らず、セミナー形式で学ぶことの大きな目標のひとつは
「本に書いてあるから正しい」「先生が言ってるから正しい」という受け身の姿勢を「自分の頭で考えて自分が正しいと判断したから正しい」という自立の姿勢に切り替えその判断の根拠をきちんと言葉にして他者の下に開く
ことにあると思います。
まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．黙って「何々である」とか，"It is easy to see...", "We may assume that...", "It is enough to show..."などと書いてあるのはすべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．「本に書いてあるから」とか「先生がそう言うから」などの理由で，なんとなく分かったような気になるのは絶対にアウトです．
次に考えてみるべきなのは，たとえば次のようなことである．
• 論理の流れ（定義と定理，あるいは定理どうしのつながり）はどうなっているか．
• 定義，または定理の仮定が当てはまる（あるいは当てはまらない）状況にはどんな例があるか．
• 定理の仮定は適切か．過剰ではないか．
• 証明の鍵になっているアイディアは何か．
こういったことを自分の言葉にすることで，読んだ内容は「自分の理解」になっていく．テキストの内容を， 考えたことを付け加えながら，改めて自分のためのノートにまとめるとよい．
5. 誤植は必ずあるものと覚悟しなければならない．専門的な本は読者が少ないので，誤植が発見される確率が小さい．滅多に増刷されないから，訂正の機会が少ない．また，誤植を発見した人が版元に知らせるとは限らない．
数学の本なら，少々の誤植は読者自身で (他の本を見なくても) 直せる．「ここにマイナスがないと計算が合わないから誤植に違いない」などと考えればよい． 例えば歴史の本で人名に誤植があったら，読者の知恵だけでは直すことはできないし，信じがたい記述があっても真偽を確かめようがない． 数学の学生は歴史の学生に比べて楽なのである．
②ノート・紙に書き出す
何ができれば自分が「理解した」ことになるのかについて、自分の中で本にある記述が正しい根拠を自分の言葉で表現できることであろうと解釈できる。では、本の記述を自分の言葉で表現できるようになるためにはどうすれば良いのか？というのが次の問いになる。
その答えの1つがいわゆる「写経」と呼ばれる行動である。プログラマでもコードを書き写すことを「写経」と呼び、写経によって理解を深める。アナロジーとしても、仏典を書写するという大本の意味とそれによる意義・効果からは大きくは離れていないように思われる。
すなわち、著者の主張を理解するためには、その言及を「写経」し、その過程を経ることが大きな助けになるということだ。
(1) 本に出てくる定義・命題・補題・定理・系を、一字一句そのままノートに書きうつす。
自分なりにまとめたりせず、とりあえずそのまま書きます。
本に書いてあることを、わざわざなぜ写すのか、無駄に思えるかも知れませんが、
写すことでいろいろなことに気づきます。これはやってみると分かります。
3. 全く頭が働かないなら, せめて本を書き写す. 読んでいるつもりでも，実はぼーっと見ているだけであることは多い. 写しているうちに, さりげなく書かれた仮定の重要性に気づくこともある．仮定がいくつもあるときは箇条書きにするとよい．
③例を考える
写経をすると、写経を仕切った達成感を「分かった」と錯覚しがちな自分を予感したので、実感のある「分かった」を得るためのもう1つの方法が「例を考えることにあたることであるという言及もある。
例とは、定理や公式に具体的な値を入れたり、一般的な主張においては特殊な条件に絞ったりすることを指す。「図を書く」は参考にしたサイトでは別項にあるが、本記事では、例を考えるという行動の1つであると解釈する。
@tomatonu33 《例示は理解の試金石》には二つの解釈ができそうですね。「自分で例を作ることで、自分の理解を試すこと」と、「提示された例を見て『確かにそうだな』と思うことで自分の理解を試すこと」です。
— 結城浩 (@hyuki) January 29, 2014
1. 例を考える. ものすごく簡単なものでいいから例を作る. また，証明が一般的すぎてわからなかったら，特殊な場合に限定して証明を書き直す(例えば---1次元に限定する，パラメータに具体的な値を代入する, 一般のnをn=3くらいにしてみる, 閉区間[a, b]は[0, 1]で済ませてしまう, 任意の関数f(x)をf(x)=sin x に限ってしまうなど).
(中略)
4. 図を描く．本には図を入れた方がいいことは著者も分かっているのだが，ページ数の都合で図を省略する， あるいは小さい図でお茶を濁すことがある．そういうときは読者自身で図を描けばよい．
④定理・命題を要約・再構築する
この点は、数学の書籍の読み方として特別な作法の1つであると思われる。
数学書を読むと大抵「定理」や「命題」は四角に囲われるなどで強調される。これは要約して記述することで情報量を減らすことができる場合があり、それを記憶すること自体は可能であろう。十分な理解に昇華するには、自分で定義からこれらを独自で導くことも必要である。
注意したいのは、この行動は「暗記」ではないということである。定義と目的からどういった定理が導けて、それがなぜ正しいのかを再構築する過程を自分の言葉で作り直すということである。
本を閉じてノートに，定義，定理，証明などを書き出してみます．すらすら書ければO.K.ですが，ふつうなかなかそうはいきません．それでも断片的に何をしていたのかくらいは，おぼえているでしょう．そうしたら残りの部分については，思い出そうとするのではなく，自分で新たに考えてみるのです．「どのような定義をするべきか」，「定理の仮定は何が適当か」，「証明の方針は何か」，「本当にこの仮定がないとだめなのか」，「どのような順序でlemmaが並んでいるべきか」などです．そうして，筋道が通るように自分で再構成する事を試みるんです．これもなかなかすぐにはできないでしょう．そこで十分考えたあとで，本を開いてみます．するといろいろな定義，操作，論法の意味が見えて来ます．これを何度も，自然にすらすらと書き出せるようになるまで繰り返します．普通，2回や3回の繰り返しではできるようにならないでしょう．
命題・補題・定理・系の多くは、「こういうときに」「こういうことが成り立つ」という
ふたつの部分からなっています。前者が仮定で、後者が結論です。
テキストに書いてある内容のうち、どこが仮定で、どこが結論なのか、
それをきちんと押さえて、証明を読み始める前に、まとめてもう一度書いておきましょう。
仮定については、そこまでのテキストの内容の行間を読まないと分からないことがあります。
2. 証明(や例題の解答)を要約する．技術的な細かいところを除いて, 議論の骨組みを抜き出す. 例えば2次方程式の解の公式の証明なら「平方完成する」, 部分積分法の証明なら「積の微分法から出る」と要約できる. 大学レベルの定理だとさすがに一言で要約するというわけには行かずに, 例えば本で1ページある証明を5行〜10行にまとめるという感じになるだろう．
おわりに
こうして見ると、特に数学書においては「自分が理解した」ということの根拠づけに、十分にリソースを割くことが重要であるといえる。往々にして、この実践には時間がかかるが、数学の理解に向き合うのであれば、時間がかかることを気にする必要はあまりなさそうであるし、数学を学ぶ上ではそれを周囲と共有するとよいだろう。
統計検定1級は毎年11月に実施される。あと10ヶ月弱あると思えば、数学的な基礎を理解するならちょうど良いのかもしれない。毎年「あと◯ヶ月ある」と思っていても、数学の基礎的事項の理解が追いつかない。とりあえず怠けたくなったり甘えたくなったりしたらこの記事に戻ってこようと思った。
2022/03/20追記
こんな本が出たのでこの記事を読んじゃった人には悪いけどこの本をまず読んだほうが良い。
2024/04/30追記
古いが名著として下記を挙げる。
Polyaの「いか問」を元に、より広い読者層に向けて書かれた書籍も挙げておく。私はこれを古本で購入したのだが、以前の所有者のメモが栞代わりに挟まっていた。古本というものの良さはこういうところにあると思う。
無料で記事は読めますが恩を回して欲しい人はここに奉納ください。