部分空間におけるフィルター

定義

集合$${X}$$上のフィルター基$${\mathscr{F,G}}$$が同値であるとは,  $${\mathscr{F}}$$が$${\mathscr{G}}$$の細分かつ,  $${\mathscr{G}}$$が$${\mathscr{F}}$$の細分であることである.

定義から,  フィルター基$${\mathscr{F}}$$に対し$${\lang\mathscr{F}\rang}$$は$${\mathscr{F}}$$と同値なフィルターのうち,  包含順序において最大のものである.

$${\mathscr{F,G}}$$がフィルターのときは,  $${\mathscr{F}}$$と$${\mathscr{G}}$$が同値であるとは$${\mathscr{F=G}}$$であることに他ならない.

$${\mathscr{F,G}}$$が同値なフィルター基のとき,  $${\mathscr{F}}$$が$${x\in X}$$に収束することと,  $${\mathscr{G}}$$が$${x}$$に収束することは同値.

定義

$${\mathscr{F}}$$を$${X}$$上のフィルター(基),  $${M}$$を$${X}$$の部分集合とする.  $${\forall A\in\mathscr{F},A\cap M\neq\varnothing}$$であるとき,  

$${\mathscr{F}\mid_M=\{A\cap M\bm{\mid}A\in\mathscr{F}\}}$$

と定義すると,  $${\mathscr{F}\mid_M}$$は$${M}$$上のフィルター(基)となる.  これを,  $${\mathscr{F}}$$の$${M}$$への制限という.(これはまた,  $${X}$$上のフィルター基にもなる)

定理

$${X}$$上の極大フィルター$${\mathscr{F}}$$及び,  $${X}$$の部分集合$${M}$$について,  $${\mathscr{F}\mid_M}$$が存在することと,  $${M\in\mathscr{F}}$$は同値.

この定理は, 極大フィルターの性質から明らかなので,  証明は省略する.

定理

$${X}$$上のフィルター基$${\mathscr{F}}$$に対し$${\lang\mathscr{F}\rang}$$は$${\mathscr{F}}$$を含むフィルターのうち,  最小のものである.

証明

$${\mathscr{F}\subset\mathscr{F'}\subset\lang\mathscr{F}\rang}$$なるフィルター$${\mathscr{F'}}$$が存在したとする.  このとき
$${\forall A\in\lang\mathscr{F}\rang,\exist B\in\mathscr{F}\quad s.t.\quad B\subset A}$$
が成立するが,  $${B\in\mathscr{F}\subset\mathscr{F'}}$$であり,  フィルターの性質から,  $${A\in\mathscr{F'}}$$.  従って$${\mathscr{F}\subset\mathscr{F'}}$$であり,  $${\mathscr{F}=\mathscr{F'}}$$.

定理

$${X}$$上の極大フィルター$${\mathscr{F}}$$と$${X}$$の部分集合$${M}$$について$${\mathscr{F}\mid_M}$$が存在するとき(即ち,  $${M\in\mathscr{F}}$$),  $${\mathscr{F}\mid_M}$$は$${M}$$上の極大フィルターとなる.

証明

$${\mathscr{F}\mid_M\subset\mathscr{F}_{(M)}}$$なる$${M}$$上のフィルターが存在したとする.  このとき,  $${\mathscr{F}\mid_M}$$の元でない$${\mathscr{F}_{(M)}}$$の元$${A}$$について, 
$${F\cap M\not\subset A}$$,  即ち$${(F\cap M)\cap A^c\ne\varnothing}$$
が任意の$${F\in\mathscr{F}}$$に対し成り立つ.  特に$${F\cap A^c\ne\varnothing}$$であり,  $${\mathscr{F}}$$の極大性から,  $${A^c\in\mathscr{F}}$$.  $${A^c}$$は$${M}$$の部分集合であったから,  $${A^c\in\mathscr{F}\mid_M\subset\mathscr{F}_{(M)}}$$であるが,  これは$${A\in\mathscr{F}_{(M)}}$$に矛盾.