米田の補題の証明

唐突だが,  米田の補題の証明を単体で記事にする.

Thm

圏$${\mathcal{C}}$$の対象$${a}$$に対し,  関手$${y(a)\colon\mathcal{C}^{op}\to\mathrm{Set}}$$を,
$${y(a)\coloneqq\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\text{-},a)}$$
とする.  このとき任意の関手$${F\colon\mathcal{C}^{op}\to\mathrm{Set}}$$に対して,
$${\mathrm{Hom}(y(a),F)\cong Fa}$$
(ただしこの$${\mathrm{Hom}}$$は自然変換全体)

proof

$${\sigma\colon\mathrm{Hom}(y(a),F)\to Fa}$$を,  次のように定める.

自然変換$${\varphi\colon y(a)\Longrightarrow F}$$の$${a}$$成分$${\varphi_a\colon y(a)(a)\Longrightarrow Fa}$$について
$${\mathrm{id}_a\in y(a)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(a,a)}$$
であるから,  この$${\mathrm{id}_a}$$を使って, 
$${\sigma(\mathrm{\varphi})=\varphi_a(\mathrm{id}_a)}$$
と定める.

この$${\sigma}$$が全単射を与えることを示そう.

(単射)
$${\varphi,\varphi'\colon y(a)\Longrightarrow F}$$を自然変換として,  $${\sigma(\varphi)=\sigma(\varphi')}$$とする.  このとき$${\varphi=\varphi'}$$であることを示すには,  任意の$${\mathcal{C}}$$の対象$${x}$$および,  射$${p\colon x\to a}$$に対し,
$${\varphi_x(p)=\varphi_x'(p)}$$
を示せばよい.

条件から
$${\sigma(\varphi)*p=\sigma(\varphi')*p}$$
である.  $${\sigma}$$の定義から, 
$${\varphi_a(\mathrm{id}_a)*p=\varphi_a'(\mathrm{id}_a)*p}$$. 
$${F}$$は$${\mathcal{C}\text{-集合}}$$であり,  $${\varphi,\varphi'}$$は自然変換だから準同型である.  そのため,  
$${\varphi_x(\mathrm{id}_a\circ p)=\varphi_x'(\mathrm{id}_a\circ p)}$$.
よって$${\varphi_x(p)=\varphi_x'(p)}$$であることが示せた.

(全射)
任意の$${u\in Fa}$$に対し,  $${\varphi\colon y(a)\Longrightarrow F}$$を,  $${\varphi_a(\mathrm{id}_a)=u}$$と定めれば,  明らかに$${\sigma(\varphi)=u}$$