前位相空間を理解する1

前位相空間とは

数学の一分野に位相空間論というものがあるが,  これをもう抽象化したものが存在する.  それはいくつかあって,  前位相空間,  ショケ空間,  収束空間の順に抽象的になっていく.  ここでは特に前位相空間について解説し,  通常の位相空間とほぼ同様の定理が成り立つことを確かめていく.

前位相空間において重要になってくるのは,  "フィルター"と呼ばれる概念である.  このフィルターの振る舞いが前位相空間と密接に関係してくる.

定義1

フィルターの前にそれより少し条件の緩いフィルター基というものを定義しておく.
$${X}$$を集合とする.  $${\mathscr{F}\subset\frak{P}(X)}$$が$${X}$$上のフィルター基であるとは,  以下の二つの条件を満たすことである.
(1)$${\varnothing\notin\mathscr{F}}$$
(2)$${A,B\in\mathscr{F}\implies\exist{C}\subset{A}\cap{B}\quad s.t.\quad{C}\in\mathscr{F}}$$
さらに$${X}$$上のフィルター基$${\mathscr{F}}$$が次の条件を満たすとき,  $${\mathscr{F}}$$を$${X}$$上のフィルターという.
(3)$${A\in\mathscr{F},A\subset{A'}\implies{A'}\in\mathscr{F}}$$

今回は使わないが,  フィルターの双対的な概念として,  "イデアル"というものがある.  
$${\mathscr{I}\subset\frak{P}(X)}$$が$${X}$$上のイデアル基であるとは,  以下の二つの条件を満たすことである.
(1)$${\varnothing\in\mathscr{I}}$$
(2)$${A,B\in\mathscr{I}\implies\exist{C}\supset{A}\cup{B}\quad s.t.\quad{C}\in\mathscr{I}}$$
$${X}$$上のイデアル基$${\mathscr{I}}$$が次の条件を満たすとき,  $${\mathscr{I}}$$を$${X}$$上のイデアルという.
(3)$${A\in\mathscr{I},A\supset{A'}\implies{A'}\in\mathscr{I}}$$

定義2

集合$${X}$$の各点$${x\in{X}}$$に対し,  写像$${\bm{\mathcal{V}}:X\to\frak{P}(\frak{P}(X))}$$(即ちこれは,  $${\bm{\mathcal{V}}(x)\subset\frak{P}(X)}$$ということである)が次の条件を満たすとき,  組$${(X,\mathcal{V})}$$を前位相空間という.
(1)$${V\in\mathcal{V}(x)\implies{x}\in{\mathcal{V}}}$$
(2)$${V,W\in\mathcal{V}(x)\implies{V}\cap{W}\in\mathcal{V}(x)}$$
(3)$${V\in\mathcal{V}(x),V\subset{V'}\implies V'\in\mathcal{V}(x)}$$
また,  $${V\in\mathcal{V}(x)}$$を$${x}$$の近傍といい,  $${\mathcal{V}(x)}$$を$${x}$$の(全)近傍系という.
即ちこれは$${\mathcal{V}(x)}$$が$${X}$$上のフィルターでかつ,  全ての$${V\in\mathcal{V}(x)}$$が$${x}$$を元に持つということである.

また,  $${x}$$の近傍系$${\mathcal{V}(x)}$$に対し次の性質を満たす$${\mathcal{V}^*(x)\subset\mathcal{V}(x)}$$を$${x}$$の基本近傍系という.

$${\forall{V}\in\mathcal{V}(x)\quad\exist{W}\in\mathcal{V}^*(x)\quad s.t.\quad W\subset{V}}$$

一般に$${x}$$の基本近傍系は一意的に定まらない.  また,  基本近傍系は$${X}$$上のフィルター基となっていることに注意しておこう.