Setにおける余極限

圏$${\mathrm{Set}}$$における余極限,  特に添え字圏が小圏の場合について解説する.  前提として$${\mathrm{Set}}$$での余積は直和,  coequalizerは同値関係であることを押さえておこう.

$${\mathcal{J}}$$を小圏,  $${T\colon\mathcal{J}\to\mathrm{Set}}$$を関手とする.  このとき$${\mathrm{colim}T}$$を計算しよう.

まず$${X=\coprod_{i\in\mathcal{J}}Ti}$$とする.  各$${i\in\mathcal{J}}$$に対して自然な写像$${\pi_i\colon Ti\to X}$$がある.  関係$${R=\{\lang \pi_i(x),\pi_j(f(x))\rang\bm{\mid}i,j\in\mathcal{J},f\colon i\to j\quad in\mathcal{\,J},x\in T_i\}}$$を関係とする.  そしてこの$${R}$$を含む同値関係のうち最小のものを$${\sim}$$とすると,  $${\mathrm{colim}T\cong X/\sim}$$となる.