前位相空間を理解する8

この記事では局所コンパクト空間と,  コンパクト化の問題について扱う.

定義16

前位相空間$${(X,\mathcal{V})}$$の任意の点に対し,  コンパクトな近傍が存在するとき,  $${X}$$を局所コンパクト空間という.

定理15

前位相空間$${(X,\mathcal{V})}$$が局所コンパクト$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$のとき,  $${X}$$に含まれない点$${x_\infty}$$を加えた集合$${X_*=X\cup\{x_\infty\}}$$に適当な$${x_\infty}$$の近傍を含めた$${X_*}$$の近傍系$${\mathcal{V}_*}$$を与えて,  次の(i)(ii)が成り立つようにできる.

(i)$${x\in X}$$に対しては$${\mathcal{V}_*(x)=\mathcal{V}(x)}$$
(ii)$${(X^*,\mathcal{V}^*)}$$はコンパクト$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$

証明

$${\mathcal{A}_0}$$を$${X}$$のコンパクトな部分集合全体とする.($${X}$$が$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$であることから,  これらは閉包作用子により不変である.) 
$${X_*}$$の部分集合族$${\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$を
$${V\in\mathcal{V}_*^*(x)\iff X_*\setminus V\in\mathcal{A}_0}$$
と定義する.  これが$${x_\infty}$$の基本近傍系となっていることを示そう. 

まず,  $${V\in\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$のとき,  $${\mathcal{A}_0}$$の元は$${x_\infty}$$を含まないため,  $${x_\infty\in V}$$でなければならない.
次に,  $${U,V\in\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$のとき, 
$${X_*\setminus(U\cap V)=(X_*\setminus U)\cup(X_*\setminus V)}$$で, 
$${(X_*\setminus U),(X_*\setminus V)}$$がコンパクトであることから,
$${(X_*\setminus U)\cup(X_*\setminus V)}$$もコンパクト.
即ち,  $${U\cap V\in\mathcal{V}_*^*}$$.  従って,  $${\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$は$${x_\infty}$$の基本近傍系である.

この基本近傍系から定まる近傍系$${\mathcal{V}_*(x_\infty)}$$及び,  $${x\in X}$$に対しては$${\mathcal{V}_*(x)=\mathcal{V}(x)}$$とすることで$${X_*}$$に(前)位相を入れることができる.(この$${\mathcal{V}_*}$$が(i)を満たすことは明らかである.)  この前位相空間$${(X_*,\mathcal{V}_*)}$$がコンパクト$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$であることを示そう.

$${\mathscr{F}}$$を$${X_*}$$の極大フィルターとする.  この$${\mathscr{F}}$$は当然,  $${X}$$のとある極大フィルターを含む.  もし,  $${\mathcal{V}_*^*(x_\infty)\subset\mathscr{F}}$$ならば,  フィルターの性質から$${\mathcal{V}_*(x_\infty)\subset\mathscr{F}}$$より,  $${\mathscr{F}}$$は$${x_\infty}$$に収束する.

逆にもし,  ある$${V\in\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$が存在して,  $${V\notin\mathscr{F}}$$のとき,  極大性から
$${X_*\setminus V\in\mathscr{F}}$$.  
$${\mathcal{V}_*^*(x_\infty)}$$の定義から,  $${X_*\setminus V}$$はコンパクトであることと,  $${\mathscr{F}}$$が$${X}$$のとある$${X_*\setminus V}$$を元に持つ極大フィルター$${\mathscr{G}}$$を含むことから,
ある$${x\in X_*\setminus V}$$が存在して
$${\mathcal{V}(x)=\mathcal{V}_*(x)\subset\mathscr{G}\subset\mathscr{F}}$$
より,  $${\mathscr{F}}$$は$${x}$$に収束する.  これによって,  $${X_*}$$の任意の極大フィルターに極限が存在することが分かったため,  $${X_*}$$はコンパクトである.

次に$${X_*}$$が$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$であることを示す.  $${X_*}$$のフィルター$${\mathscr{F}}$$が(異なるとは限らない)2点$${x,y\in X_*}$$に収束したとしよう. 
$${x,y\in X}$$なら,  $${X}$$の$${\mathrm{Hausdorff}}$$性から,  $${x=y}$$. 
$${x\in X,y=x_\infty}$$なら,  $${x}$$のコンパクトな近傍$${V}$$に対して,  定義より$${X_*\setminus V}$$は$${x_\infty}$$の近傍となるが,  明らかにこの2つの共通部分は空である.  即ち,  $${X_*}$$は$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$.

定理16

定理15とは逆に,  (i)(ii)を満たすように$${\tilde{\mathcal{V}}_*}$$をとれたなら,  $${X}$$は局所コンパクト$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$でなければならない.

定理17

定理15,  定理16における$${X_*}$$の(前)位相$${\mathcal{V}_*}$$は(i)(ii)により一意的に定まる.

定理16,  定理17の証明は一般の位相空間の教科書に載っているので,  割愛.