前位相空間を理解する(補足)

ここでは,  フィルター基と写像について解説していなかったことを補足する.

定理

$${X,Y}$$を集合.  $${\mathscr{F}}$$を$${X}$$上のフィルター基,  $${\mathscr{G}}$$を$${Y}$$上のフィルター基,  $${f:X\to Y}$$を写像とする.  このとき,次が成り立つ.
(i)$${f(\mathscr{F})}$$は$${Y}$$上のフィルター基
(ii)任意の$${A\in\mathscr{G}}$$に対し,  $${f^{-1}(A)\neq\varnothing}$$ならば$${f^{-1}(\mathscr{G})}$$は$${X}$$上のフィルター基

証明

(i)$${A\neq\varnothing\implies f(A)\neq\varnothing}$$より,  $${\varnothing\notin f(\mathscr{F})}$$.  $${f(A),f(B)\in f(\mathscr{F})}$$を任意にとる.  このとき$${\mathscr{F}}$$はフィルター基であるから,  $${\exist C\supset A\cap B\quad s.t.\quad C\in\mathscr{F}}$$.  写像の性質から,  $${f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)}$$.  よって,  $${f(C)\in f(\mathscr{F}),f(C)\subset f(A)\cap f(B)}$$となり,  $${f(\mathscr{F})}$$はフィルター基.
(ii)仮定から$${\varnothing\notin f^{-1}(\mathscr{G})}$$  $${A,B\in f^{-1}(\mathscr{G})}$$を任意にとる.  このとき,  ある$${A',B'\in\mathscr{G}}$$が存在して,  $${A=f^{-1}(A'),B=f^{-1}(B')}$$であり,  $${\mathscr{G}}$$がフィルター基であることから,  $${\exist C'\in\mathscr{G}\quad s.t.\quad C'\subset A'\cap B'}$$であり,  $${f^{-1}(A'\cap B')=f^{-1}(A')\cap f^{-1}(B')}$$なため,  $${C=f^{-1}(C')}$$とすると,  $${C\in f^{-1}(\mathscr{G}),C\subset A\cap B}$$となり,  フィルター基の条件を満たす.
(一般に,  フィルターの像はフィルターになるとは限らないし, フィルターの逆像もフィルターになるとは限らないことに注意しておこう.)

反例

$${X=Y}$$を無限集合とし,  適当な$${a\in X}$$に対し写像$${f:X\to X}$$を$${f(x)=a}$$と定義すると,  任意の空でない$${A\subset X}$$に対し,  $${f(A)=\{a\}}$$となってしまい,  $${b\in X}$$を$${a}$$と異なるようにとると,  $${\{a\}\subset\{a,b\}}$$であるが,  $${\{a,b\}}$$を含むようなフィルターの像は存在しない.(逆像も同様)

定理

$${X}$$上の任意のフィルター基$${\mathscr{F}}$$及び,  任意の$${M\subset X}$$に対し次の(i)(ii)(iii)のいずれか一つだけが成り立つ.
(i)$${\exist A\in\mathscr{F}\quad s.t.\quad A\subset M}$$
(ii)$${\exist A\in\mathscr{F}\quad s.t.\quad A\subset M^c}$$
(iii)任意の$${A\in\mathscr{F}}$$に対し$${A\cap M\neq\varnothing,A^c\cap M\neq\varnothing}$$

証明

(i)(ii)(iii)が両立しないことは明らか.  (i)(ii)が成り立たないことを仮定して,  (iii)を導く.
$${A\in\mathscr{F}}$$を任意にとる.  このとき,  $${A\cap M=\varnothing}$$とすると,  $${A\subset M^c}$$となり,  (ii)でないことに矛盾.  $${A\cap M^c\neq\varnothing}$$も同様.

系

任意のフィルター$${\mathscr{F}}$$及び,  任意の$${M\subset X}$$に対し次の(i)(ii)(iii)のいずれか一つだけが成り立つ.
(i)$${M\in\mathscr{F}}$$
(ii)$${M^c\in\mathscr{F}}$$
(iii)任意の$${A\in\mathscr{F}}$$に対し$${A\cap M\neq\varnothing,A^c\cap M\neq\varnothing}$$
($${\because}$$定理で(i)が成り立つときフィルターの条件から$${M\in\mathscr{F}}$$となる.  (ii)も同様.)