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前位相空間

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#コンパクト

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前位相空間を理解する8

この記事では局所コンパクト空間と, コンパクト化の問題について扱う.

定義16

前位相空間$${(X,\mathcal{V})}$$の任意の点に対し, コンパクトな近傍が存在するとき, $${X}$$を局所コンパクト空間という.

定理15

前位相空間$${(X,\mathcal{V})}$$が局所コンパクト$${\mathrm{Hausdorff\text{空間}}}$$のとき,

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前位相空間を理解する5

今回はコンパクトに関する重要な定理"Tychonoffの定理"を証明する.

定理6

前位相空間$${(X,\mathcal{V})}$$がコンパクトであることは次の(i)または(ii)と同等である.
(i)有限交叉性をもつ$${X}$$の任意の部分集合族$${\frak{X}}$$に対し, $${\bigcap_{X\in\frak{X}}\mathrm{cl}(X)\neq\varnoth

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前位相空間を理解する4

さて, いよいよ位相空間の超, 超重要な概念である"コンパクト"について前位相空間に導入していこうと思う.

定義10

集合$${X}$$上のフィルター$${\mathscr{F}}$$が次の条件を満たすとき極大フィルターという.
$${\mathscr{F}\subset\mathscr{F'}}$$なるフィルター$${\mathscr{F'}}$$が存在するならば$${\mathscr{

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