完全数と高次元球面の異種微分構造

こんにちは？

いまさら挨拶に気を遣おうと、ふと思う山田式であった。この筆名変えようかな？変えたいのも癖で良くない、このまま行こう。ですますの比率とかも上げようか。

そんな話は余分では？本題に入りたまえ。

えっと完全数というのをご存知だろうか？

数学というか、自然数の話で、自身を除く約数の和が自身になる、という奴です。

例として6、これは約数が自身つまり6を除けば1、2、3、で、その和は6になってます。

これが完全数なのですが、下から見ていくと、6、28、496、8128、無限に続くかどうかはまだ分からないそうです。偶数しかないかどうかも不明。
偶数の完全数はpを素数として

の形だそうである。
２のp乗-1自体素数にならないといけないけど。

他方、異種微分構造というのが別な数学分野にあるのです。微分トポロジーとか言うらしいですね。

高次元の球面には微分同相ではないが滑らかな多様体が存在する、みたいな形だったと思う、あまり自分もわかってないので高次元な球面の説明だけ試みると、変数が3個の時自乗の和が正で一定な物を通常球面というらしいが、この変数の個数を四以上にした式で定義されるのが高次元球面だそうである。

式を書きなさい。

nを自然数、x、rを実数として、

なるxのなす空間ををn次元球面とする。

これで合ってますか？

原点が中心ならそれで良いが、差をとって自乗しないといけないですね。

分類の代表としてはそれで良いのかも知れないけど。

通常の球面が二次元であっても変数の数は三つというのと同じでnには1を足されてます。

で、これに微分同相という物を考えることでそれで移り変わらないという分類ができるらしい。これを異種微分構造とかいうらしい。

分類ができるという事は、その個数が問題になりえるわけで、七次元球面では通常のもの含めて、28個だそうである。

で、これが完全数の28と重なってるのが何となく気になって調べてみたら、11次元だと992個、15次元だと16256個だそうである。

これは完全数の倍数になってるのでは？

そう思ったものの自力で何かできるはずもなかった。

ただそれだけです。何もできなかったことを報告してるだけですが。

ただ三次元球面には微分構造が一つしかないらしく、別に6の倍数な訳でもないので、偶然似た流れになってるだけなのかも知れない。

正しくない命題は証明できないだろう。

追記　しまった。誤字があった、修正したが遅かった。